Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Ecuat¸ii diferent¸iale autonome ˙x = g(x) 9
Concluzii
1. Existǎ probleme de fizicǎ care conduc la ecuat¸ii diferent¸iale de forma
˙x = g(x) în care g este o funct¸ie realǎ continuǎ definitǎ pe un interval
deschis (c, d) ⊂ IR 1 ¸si nu se anuleazǎ.
2. Oricare ar fi solut¸ia x(t) a ecuat¸iei diferent¸iale ˙x = g(x) ¸si oricare ar
fi x∗ ∈ (c, d) existǎ o constantǎ scalarǎ C astfel încât x(t) este solut¸ia
x
ecuat¸iei implicite
x∗ 1
du −t−C = 0 ¸si reciproc, o solut¸ie a acestei
g(u)
ecuat¸ii implicite este solut¸ie pentru ecuat¸ia diferent¸ialǎ.
3. Oricare ar fi t0 ∈ IR 1 ¸si x0 ∈ (c, d) existǎ o funct¸ie unicǎ x = x(t)
definitǎ pe un interval deschis I0 (care cont¸ine pe t0) ¸si cu valori în
(c, d) care este solut¸ia problemei cu date init¸iale ˙x = g(x), x(t0) = x0.
4. Dacǎ funct¸ia g se anuleazǎ într-un punct x ∗ ∈ (c, d) atunci funct¸ia
constantǎ x(t) ≡ x ∗ este solut¸ie a ecuat¸iei diferent¸iale.
Exercit¸ii
1. Sǎ se determine solut¸iile urmǎtoarelor ecuat¸ii diferent¸iale (cu calculatorul):
a) ˙x = 1 + x 2 , x ∈ IR 1
b) ˙x = e −x , x ∈ IR 1
R: x(t) = tan(t + C), t + C = (2k + 1) · π
2
R: x(t) = ln(t + C), t + C > 0
c) ˙x = k · x, x > 0 R: x(t) = C · e k t , C > 0, t ∈ IR 1
d) ˙x = k · x, x < 0 R: x(t) = C · e k t , C < 0, t ∈ IR 1
e) ˙x = x2 , x > 0 R: x(t) = − 1
, t + C < 1
t + C