Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Clasificarea ecuat¸iilor cu derivate part¸iale de ordinul al doilea liniare 181
ii) Ecuat¸ie de tip hiperbolic în (x 0 1 , . . .,x0 n ):
∂2v =
∂ξ1 n
i=2
∂ 2 v
∂ξ 2 i
iii) Ecuat¸ie de tip ultra-hiperbolic în (x 0 1 , . . .,x0 n ):
m
i=1
iii) Ecuat¸ie de tip parabolic:
n−m
i=1
∂ 2 v
∂ξ 2 i
=
n
i=m+1
+ Φ; (6.4)
∂ 2 v
∂ξ 2 i
+ Φ; (6.5)
± ∂2v ∂ξ2
+ Φ = 0, (m > 0). (6.6)
i
Tipul ecuat¸iei (6.1) în (x0 1 , . . ., x0n ) se determinǎ prin aducerea formei pǎtratice:
n
i=1
n
j=1
a 0 ij yi yj
la forma canonicǎ. Ecuat¸ia poate fi adusǎ la una din formele standard prezentate
alegând transformarea ξk = ξk(x1, . . .,ξn), k = 1, n astfel încât transformarea
liniarǎ:
yi =
n ∂ξk
k=1
∂xi
(x 0 1 , . . .,xi n ) · ηk
sǎ aducǎ forma pǎtraticǎ la forma canonicǎ.
Sǎ examinǎm în continuare problema posibilitǎt¸ii aducerii ecuat¸iei (6.1)
la ”forma canonicǎ” (una din formele prezentate) într-o vecinǎtate a unui
punct (x1, . . .,xn), în condit¸iile în care în toate punctele acestei vecinǎtǎt¸i
ecuat¸ia apart¸ine aceluia¸si tip.
Pentru a aduce ecuat¸ia (6.1) la forma canonicǎ într-un anumit domeniu ar
trebui, în primul rând, sǎ impunem funct¸iilor ξk(x1 . . .,xn), k = 1, n condit¸iile
n(n − 1)
diferent¸iale akl = 0 pentru k = l. Numǎrul acestor condit¸ii este
2
¸si este mai mic decât n (n reprezintǎ numǎrul funct¸iilor ξk, k = 1, n) dacǎ
n < 3. De aceea pentru n > 3 ecuat¸ia (6.1) nu poate fi adusǎ la forma