Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Ecuat¸ia elipticǎ de tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 227
Observat¸ia 7.1.4 i) Teorema de unicitate demonstreazǎ cǎ Problema Dirichlet
are cel mult o solut¸ie clasicǎ.
ii) Existent¸a unui minim absolut în D a funct¸ionalei ΦF(u) nu este adevǎratǎ.
Existǎ exemple care demonstreazǎ cǎ în general Problema Dirichlet nu are
solut¸ie clasicǎ.
Pentru a asigura minimul absolut al funct¸ionalei ΦF lǎrgim spat¸iul vectorial
D astfel ca sǎ devinǎ spat¸iu Hilbert. În acest scop, pe D × D definim
urmǎtoarea corespondent¸ǎ:
D × D ∋ (u, v) →< u, v >A= Au · vdX. (7.11)
Lema 7.1.1 Corespondent¸a definitǎ cu (7.11) este un produs scalar pe spat¸iul
vectorial D.
Demonstrat¸ie: prin verificare.
Observat¸ia 7.1.5 Pentru (u, v) ∈ D are loc egalitatea:
< u, v >A=
n
Ω i=1 j=1
n
aij(X) ∂u
∂v
dX +
∂xi ∂xj
Ω
Ω
c(X)u(X)v(X)dX
Definit¸ia 7.1.4 Completatul spat¸iului vectorial D în norma · A
generatǎ de produsul scalar
< u, v >A= Au · vdx
se nume¸ste spat¸iul energetic al operatorului A ¸si se noteazǎ cu XA.
Observat¸ia 7.1.6 Elementele spat¸iului energetic XA sunt elementele spat¸iului
vectorial D la care se mai adaugǎ limite în norma · A de ¸siruri fundamentale
un din D. Altfel spus, dacǎ u ∈ XA atunci u ∈ D sau existǎ (un)n cu
un ∈ D astfel încât un − uA → 0. Un element u ∈ XA are proprietatea:
u ∈ L2 (Ω), ∂u
∈ L
∂xi
2 (Ω) ¸si u|∂Ω = 0
Ω