Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi liniare omogene 77
I. Considerǎm t0 ∈ I ¸si X(t0) = X 0 . Solut¸ia consideratǎ X(t), conform
teoremei de unicitate, coincide cu funct¸ia X(t; t0, X 0 ) = e (t−t0)·A · X 0 solut¸ie
a problemei Cauchy (3.3):
X(t) ≡ X(t; t0, X 0 ) ≡ e (t−t0)·A · X 0 .
Teorema 3.1.3 Mult¸imea S a solut¸iilor sistemului diferent¸ial liniar cu coeficient¸i
constant¸i de ordinul întâi este un spat¸iu vectorial n-dimensional.
Demonstrat¸ie: Fie X 1 (t) ¸si X 2 (t) douǎ solut¸ii ale sistemului(3.2) ¸si α, β
douǎ constante reale. T¸inând seama de egalitatea:
α · X 1 (t) + β · X 2 (t) = e (t−t0)·A · [α · X 1 (t0) + β · X 2 (t0)]
rezultǎ cǎ funct¸ia α·X 1 (t)+β ·X 2 (t) este solut¸ie a sistemului (3.2). Obt¸inem
în acest fel cǎ mult¸imea S a solut¸iilor sistemului (3.2) este spat¸iu vectorial.
Pentru a demonstra cǎ dimensiunea spat¸iului vectorial S este n, considerǎm
baza canonicǎ b 1 , b 2 , . . .,b n în IR n :
b 1 = (1, 0, 0, . . ., 0) T , b 2 = (0, 1, 0, . . ., 0) T , . . ., b n = (0, 0, 0, . . ., 1) T
¸si sistemul de solut¸ii
X i (t) = e t·A · b i , i = 1, n.
Vom arǎta cǎ sistemul de solut¸ii X 1 (t), X 2 (t), . . .,X n (t) este o bazǎ în spat¸iul
solut¸iilor S. Pentru aceasta, fie la început c1, c2, . . ., cn, n constante reale
astfel ca
(∀)t ∈ IR 1 .
n
k=1
ck · e t·A · b k = 0
În particular pentru t = 0 avem
n
k=1
ck · b k = 0
de unde rezultǎ c1 = c2 = . . . = cn = 0. Rezultǎ astfel cǎ sistemul de funct¸ii
X i (t) = e t·A · b i , i = 1, n este liniar independent.
Considerǎm acum o solut¸ie oarecare X(t) a sistemului (3.2), ¸si vectorul X(0).
Pentru acest vector X(0) ∈ IR n existǎ n constante reale c1, c2, . . .,cn astfel
ca
X(0) =
n
k=1
ck · b k .