Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 257
Vom considera în continuare Probleme Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia hiperbolicǎ
de urmǎtoarea formǎ:
∂2u −
∂t2 n
n
∂
aij(X)·
∂xi
∂u
+ c(X)·u(t, X)=f(t, X),
∂Xj
i=1
j=1
(t, X)∈(0,+∞)×Ω
(7.36)
u(t, X) = 0, (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × Ω. (7.37)
u(0, X) = u0(X), (∀)x ∈ Ω. (7.38)
∂u
∂t (0, X) = u1(X), (∀)X ∈ Ω. (7.39)
în care funct¸iile aij, c, f au proprietǎt¸ile (i), (ii), (iii), (iv) anterior prezentate;
funct¸ia u0 este de clasǎ C 1 pe Ω ¸si de clasǎ C 2 în Ω; funct¸ia u1 este continuǎ
pe Ω ¸si de clasǎ C 1 în Ω.
O solut¸ie clasicǎ a acestei probleme este o funct¸ie u : [0, +∞) × Ω → IR 1
care este de clasǎ C 1 pe [0, +∞) × Ω, ¸si este de clasǎ C 2 pe (0, +∞) × Ω ¸si
verificǎ:
⎧
∂
⎪⎨
2 n
n
u ∂
− aij(X)·
∂t2 ∂xi i=1 j=1
∂u
+ c(X)·u(t, X)=f(t, X); (t, X)∈(0,+∞)×Ω
∂xj
u(t, X) = 0, (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × Ω.
⎪⎩
u(0, X) = u0(X), (∀)X ∈ Ω.
∂u
∂t (0, X) = u1(X), (∀)X ∈ Ω.
Considerând operatorul diferent¸ial A definit pe spat¸iul de funct¸ii
D = {w|w : Ω → IR 1 ; w ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω), w|∂Ω = 0}