Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

84 CAPITOLUL 3
3.2 Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul
întâi liniare cu coeficient¸i constant¸i neomogene
Definit¸ia 3.2.1 Un sistem de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi liniare
cu coeficient¸i constant¸i neomogen este un sistem de n relat¸ii de dependent¸ǎ
funct¸ionalǎ de forma:
˙x1 = a11 · x1 + a12 · x2 + . . . + a1n · xn +f1(t)
˙x2 = a21 · x1 + a22 · x2 + . . . + a2n · xn +f2(t) (3.4)
.
˙xn = an1 · x1 + an2 · x2 + . . . + ann · xn +fn(t)
dintre un sistem de n funct¸ii necunoscute x1, x2, . . ., xn ¸si derivatele acestora
x1, ˙ x2, ˙ . . ., xn. ˙
În sistemul (3.4) coeficient¸ii aij sunt constante cunoscute, iar funct¸iile reale
fi : IR 1 → IR sunt continue ¸si cunoscute.
Definit¸ia 3.2.2 Un sistem ordonat de n funct¸ii reale x1, x2, . . ., xn de clasǎ
C1 este solut¸ie a sistemului (3.4) dacǎ verificǎ:
dxi
dt =
n
aij · xj + fi(t) (∀)t ∈ IR
j=1
Definit¸ia 3.2.3 Fiind datǎ t0 ∈ IR 1 ¸si (x0 1, x0 2, . . .,x 0 n) ∈ IR n , problema
determinǎrii solut¸iei (x1(t), x2(t), . . .,xn(t)) a sistemului (3.4) care verificǎ
xi(t0) = x0 i i = 1, n, se nume¸ste problemǎ cu date init¸iale sau problemǎ
Cauchy.
Pentru reprezentarea matricealǎ a sistemului (3.4) notǎm cu A matricea
pǎtratǎ n × n care are ca elemente constantele aij: A = (aij) i,j=1,n, cu F(t)
matricea coloanǎ F(t) = (f1(t), f2(t), . . .,fn(t)) ¸si cu X(t) matricea coloanǎ
X = (x1, x2, . . ., xn) T . Cu aceste matrice sistemul (3.4) se scrie sub forma
matricealǎ:
˙X = A · X + F(t) (3.5)
iar problema Cauchy se scrie sub forma
˙X = A · X + F(t), X(t0) = X 0
(3.6)