Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Probleme pentru ecuat¸ia lui Laplace pe disc 211
Q ′′ + λQ = 0 (6.52)
Deoarece funct¸ia u este de clasǎ C 2 solut¸ia ecuat¸iei (6.52) trebuie sǎ verifice
Q(0) = Q(2π). De aici rezultǎ cǎ λn = n 2 , n ∈ IN.
Pentru λn = n 2 avem:
Qn(ϕ) = An cosnϕ + Bn sin nϕ (6.53)
în care An ¸si Bn sunt constante arbitrare.
Ecuat¸ia (6.51) este liniarǎ de tip Euler ¸si se rezolvǎ fǎcându-se schimbarea
de variabilǎ r = e t . Pentru λ = n 2 solut¸ia generalǎ este:
Pn(r) = Cnr n + Dnr −n , dacǎ n = 1, 2, ... (6.54)
P0(r) = A0 + B0 ln r, dacǎ n = 0. (6.55)
Rezultǎ în acest fel cǎ (6.48) admite urmǎtoarea familie de solut¸ii:
⎧
⎨
un(r, ϕ) =
⎩
A0 + B0 ln r, n = 0
r n (An cosnϕ + Bn sin nϕ), n = 1, 2, ...
r −n (A−n cosnϕ + B−n sin nϕ), n = 1, 2, ...
în care A0, B0, An, Bn, A−n, B−n sunt constante oarecare.
(6.56)
Observat¸ia 6.7.1 Orice sumǎ finitǎ de solut¸ii de forma (6.48) este solut¸ie
pentru ecuat¸ia (6.48).
Definit¸ia 6.7.1 O solut¸ie formalǎ a ecuat¸iei lui Laplace în coordonate polare
este o ”funct¸ie” u(r, ϕ) de forma:
u(r, ϕ)=A0+B0 lnr+
∞
n=1
[(Anr n +A−nr −n ) cosnϕ+(Bnr n +B−nr −n ) sin nϕ]
(6.57)
Denumirea de solut¸ie formalǎ provine de la faptul cǎ nu avem informat¸ii
relative la convergent¸a seriei (6.57). Ceea ce este clar este cǎ, termenii seriei
(6.57) sunt solut¸ii ¸si cǎ, dacǎ seria are doar un numǎr finit de termeni diferit¸i
de zero, atunci suma este o funct¸ie care este solut¸ie a ecuat¸iei lui Laplace.