Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

228 CAPITOLUL 7
Observat¸ia 7.1.7 Spat¸iul energetic XA împreunǎ cu produsul scalar < u, v >A
este un spat¸iu Hilbert.
Lema 7.1.2 Funct¸ionala ΦF : D → IR ′ definitǎ de formula
ΦF(u) = Au · udX − 2 F · udX (7.12)
Ω
în care F ∈ L 2 (Ω), se prelunge¸ste prin continuitate la o funct¸ionalǎ continuǎ
ΦF definitǎ pe spat¸iul energetic XA.
Demonstrat¸ie: Arǎtǎm la început cǎ funct¸ionala ΦF(u) definitǎ cu
(7.12) este continuǎ în topologia spat¸iului energetic. În acest scop considerǎm
u ∈ D, un ¸sir (un)n, un ∈ D cu proprietatea cǎ un − uA → n 0 ¸si apoi ¸sirul
ΦF(un) = Aun · undX − 2
Ω
Ω
Ω
F · undX.
Arǎtǎm cǎ acest ¸sir numeric este convergent ¸si limita lui este
ΦF(u) = Au · udX − 2 F · udX.
Într-adevǎr, avem:
de unde rezultǎ:
Ω
ΦF(un) = un 2 A
ΦF(u) = u 2 A
Ω
− 2 F · undX
Ω
− 2 F · udX
Ω
|ΦF(un) − ΦF(u)| ≤ | un 2 A − u 2 A | + 2
Ω
|F | · |un − u|dX ≤
≤ | un 2 A − u2 A | + 2F L 2 (Ω) · un − u L 2 (Ω).
Deoarece convergent¸a un − uA → 0 implicǎ convergent¸ele
| un 2 A − u2 A | → 0 ¸si un − uL 2 (Ω) → 0, rezultǎ convergent¸a
|ΦF(un) − ΦF(u)| → 0.