Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

198 CAPITOLUL 6
Demonstrat¸ie: Simbolurile din formula (6.16) au urmǎtoarele semnificat¸ii:
∆g =
n
i=1
∂2g ∂x2 ,
i
∂g
∂¯n =
n ∂g
cos(¯n, ēi), ∇f =
∂xi
i=1
Teorema se demonstreazǎ ca ¸si în cazul n = 2.
Teorema 6.3.4 (a doua formulǎ a lui Green)
Dacǎ Ω ⊂ IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial
netedǎ) ¸si f, g sunt douǎ funct¸ii f, g : ¯ Ω → IR 1 , de clasǎ C 1 pe ¯ Ω ¸si de clasǎ
C2 în Ω, atunci are loc egalitatea:
(f ·∆g − g·∆f) dx1 · · ·dxn =
Ω
∂Ω
n
i=1
∂f
∂xi
f · ∂g
− g·∂f dS (6.17)
∂¯n ∂¯n
Demonstrat¸ie: Teorema se demonstreazǎ ca ¸si în cazul n = 2.
Teorema 6.3.5 (de reprezentare a unei funct¸ii de n variabile)
Dacǎ Ω ⊂ IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial
netedǎ) ¸si u : ¯ Ω → IR 1 este o funct¸ie de clasǎ C 1 pe ¯ Ω ¸si de clasǎ C 2 în Ω,
atunci are loc urmǎtoarea formulǎ de reprezentare:
1 1
u(X) = −
(n − 2)σn Ω X − Y n−2 ∆u(Y ) dy1 · · ·dyn +
1 1
+
(n − 2)σn ∂Ω X − Y n−2 ∂u
(Y ) dSY − (6.18)
∂¯nY
1
−
u(Y )
(n − 2)σn
∂
1
∂¯nY X − Y n−2
dSY
∂Ω
unde σn reprezintǎ aria suprafet¸ei bilei
¯B(0, 1) = {Y = (y1, . . ., yn) ∈ IR n | Y ≤ 1}
∂
iar indicele Y la aratǎ cǎ se calculeazǎ derivata normalǎ a funct¸iei
∂¯nY
1
Y ↦→
X − Y n−2; analog dSY .
Demonstrat¸ie: Se face analog cu cazul n = 2.
ēi