Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 263
Definit¸ia 7.4.3 O funct¸ie U ∈ S se nume¸ste solut¸ie generalizatǎ a problemei
(7.36-7.39) dacǎ U(0) = u0, U ′ (0) = u1 ¸si pentru (∀)T > 0, (∀)V ∈ ST
verificǎ:
− < u1, V (0) > L2 (Ω) −
0
T
T
+
0
< U ′ (t), V ′ (t) > L 2 (Ω) dt+
< U(t), V (t) >A dt =
T
0
< F(t), V (t) > L 2 (Ω) dt
(7.41)
Observat¸ia 7.4.2 O solut¸ie clasicǎ u(t, X) a problemei (7.36-7.39) define¸ste
o solut¸ie generalizatǎ a acestei probleme.
Teorema 7.4.3 Dacǎ funct¸ia U ∈ S este solut¸ie generalizatǎ a problemei
(7.36-7.39) ¸si funct¸ia u : [0, +∞) × Ω → IR 1 definitǎ prin u(t, X) = U(t, X)
este de clasǎ C 2 pentru t > 0 ¸si X ∈ Ω, atunci funct¸ia u = u(t, X) este
solut¸ie clasicǎ a problemei (7.36-7.39).
Demonstrat¸ie: Egalitatea (7.37):
u(t, X) = 0, (∀)t ≥ 0 ¸si (∀)x ∈ ∂Ω
rezultǎ din apartenent¸a U(t) ∈ H 1 0 . Egalitatea (7.38): u(0, X) = u0(0), (∀)X ∈
Ω rezultǎ din U(0) = u0.
Egalitatea (7.39): ∂u
∂t (0, X) = u1(X), (∀)X ∈ ∂Ω rezultǎ din U ′ (0) = u1.
Rǎmâne doar sǎ arǎtǎm egalitatea (7.36) adicǎ:
∂2u + A · u(t, X) = f(t, X).
∂t2 Pentru a deduce aceastǎ egalitate pornim de la egalitatea (7.41) pe care o
scriem sub forma:
−
0
T
Ω
∂u
∂t (t, X) · V ′
(t)(X)dX dt −
Ω
u1(X) · V (0)(X)dX+