Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul întâi 21
1.6 Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul întâi
O ecuat¸ie diferent¸ialǎ de forma
˙x = A(t)x + B(t) (1.39)
se nume¸ste ecuat¸ie diferent¸ialǎ liniarǎ de ordinul întâi. În ecuat¸ia (1.39) A
¸si B sunt funct¸ii reale continue A, B : (a, b) → IR 1 ¸si se considerǎ cunoscute.
Dacǎ funct¸ia B este identic nulǎ, atunci ecuat¸ia (1.39) se nume¸ste ecuat¸ie
diferent¸ialǎ de ordinul întâi liniarǎ omogenǎ ¸si solut¸iile ei sunt date de formula:
˜x(t) = C · e t
t∗ A(τ)dτ
(1.40)
în care C este o constantǎ realǎ oarecare (a se vedea §1.3).
Pentru a determina solut¸iile ecuat¸iei (1.39) remarcǎm faptul cǎ diferent¸a
a douǎ solut¸ii ale acestei ecuat¸ii este o solut¸ie a ecuat¸iei liniare ¸si omogene.
Acest fapt se verificǎ u¸sor prin calcul. Rezultǎ de aici cǎ dacǎ x este o solut¸ie
oarecare a ecuat¸iei (1.39) ¸si ¯x este o solut¸ie fixatǎ a ecuat¸iei (1.39), atunci
diferent¸a x − ¯x este solut¸ie pentru ecuat¸ia liniarǎ ¸si omogenǎ, ¸si prin urmare
sau
x(t) − ¯x(t) = C · e t
t ∗ A(τ)dτ
x(t) = C · e t
t ∗ A(τ)dτ + ¯x(t). (1.41)
Egalitatea (1.41) aratǎ cǎ o solut¸ie oarecare x(t) a ecuat¸iei (1.39) se obt¸ine
adǎugând la o solut¸ie particularǎ ¯x(t) a acestei ecuat¸ii, o solut¸ie oarecare a
ecuat¸iei liniare ¸si omogene ˜x(t) = C · e t
t ∗ A(τ)dτ . În acest mod determinarea
tuturor solut¸iilor ecuat¸iei (1.39) se reduce la determinarea unei solut¸ii particulare
a acestei ecuat¸ii.
Determinarea unei solut¸ii particulare a ecuat¸iei (1.39) se face cu ”metoda
variat¸iei constantei a lui Lagrange”.Aceasta înseamnǎ cǎ pentru ecuat¸ia (1.39)
se cautǎ o solut¸ie particularǎ ¯x(t) care are forma funct¸iei datǎ de (1.40),
deosebirea fiind cǎ C nu mai este o constantǎ realǎ ci este o funct¸ie de t
(C = C(t)):
¯x(t) = C(t) · e t
t ∗ A(τ)dτ . (1.42)
Pentru a impune funct¸iei ¯x(t) sǎ verifice ecuat¸ia (1.39) se admite cǎ
funct¸ia C(t) este derivabilǎ ¸si din faptul cǎ ¯x(t) verificǎ (1.39) se obt¸ine:
˙C(t) e t
t ∗ A(τ)dτ + A(t) C(t) e t
t ∗ A(τ)dτ = A(t) C(t) e t
t ∗ A(τ)dτ + B(t)