Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

80 CAPITOLUL 3
Demonstrat¸ie: Având în vedere teorema precedentǎ este suficient sǎ arǎtǎm
cǎ dacǎ existǎ t0 ∈ IR 1 astfel ca
W(X 1 (t0), . . ., X n (t0)) = 0
atunci pentru orice t ∈ IR 1 , W(X 1 (t), . . .,X n (t)) = 0. Calculǎm derivata
wronskianului sistemului de solut¸ii {X i (t) i=1,n } ¸si obt¸inem
d
dt W(X1 (t), . . .,X n
n
(t)) =
De aici rezultǎ egalitatea:
i=1
W(X 1 (t), . . ., X n (t)) = W(X 1 (t0), . . ., X n (t0)) · exp
aii
· W(X 1 (t), . . .,X n (t)
n
care aratǎ cǎ pentru orice t ∈ IR 1 avem W(X 1 (t), . . .,X n (t)) = 0.
i=1
aii
·(t−t0)
Observat¸ia 3.1.5 În demonstrat¸ia teoremei care afirma cǎ solut¸iile sistemului
(3.2) formeazǎ un spat¸iu vectorial n dimensional am vǎzut cǎ dacǎ
b 1 = (1, 0, 0, . . ., 0) T , b 2 = (0, 1, 0, . . ., 0) T , . . ., b n = (0, 0, 0, . . ., 1) T
atunci sistemul de funct¸ii
X 1 (t) = e t·A · b 1 , X 2 (t) = e t·A · b 2 , . . . , X n (t) = e t·A · b n
este un sistem fundamental de solut¸ii. Dacǎ t¸inem seama de faptul cǎ solut¸ia
X i (t) este coloana i a matricei pǎtratice e t·A atunci deducem cǎ putem construi
solut¸iile ecuat¸iei (3.2) dacǎ cunoa¸stem elementele matricei e t·A .
Pentru determinarea elementelor matricei e t·A t¸inem seama de urmǎtoarele
rezultate de algebrǎ liniarǎ:
Propozit¸ia 3.1.1 Dacǎ matricea A este similarǎ cu matricea A0 adicǎ
A = S · A0 · S −1
atunci matricea e t·A este similarǎ cu matricea e t·A0 adicǎ
e t·A = S · e t·A0 · S −1 .