Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi liniare omogene 81
Aceasta întrucât pentru orice k ∈ IN avem A k = S · A k 0 · S−1 .
Propozit¸ia 3.1.2 (teorema lui Jordan)
Pentru orice matrice A existǎ o matrice ”diagonalǎ”
A0 = diag(A01, A02, . . .A0m)
¸si o matrice nesingularǎ S cu urmǎtoarele proprietǎt¸i:
i) A0j este matrice pǎtratǎ de ordin qj, j = 1, m ¸si
m
qj = n;
ii) A0j este matrice de forma A0j = λj · Ij + Nj, j = 1, m, unde λj este
valoare proprie pentru matricea A, Ij este matricea unitate de ordin
qj, Nj este matricea nilpotentǎ : Nj = b j
kl , k, l = 1, qj cu b j
k,k+1 = 1
¸si b j
kl = 0, pentru l = k + 1, ¸si qj este cel mult egal cu ordinul de
multiplicitate al valorii proprii λj;
iii) A = S · A0 · S −1 .
Propozit¸ia 3.1.3 Matricea e t·A0 are forma:
e t·A0 = diag e t·A01 , e t·A02 , . . .,e t·A0m
¸si matricea e t·A0 are forma:
e t·A0j = e λj·t ·
⎡
⎢
⎣
1 t
1!
j=1
t2 t · · · 2! qj −1
(qj−1)!
0 1 t
1! · · · t q j −2
(qj−2)!
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 · · · 1
Teorema 3.1.6 Elementele matricei e t·A = S · e t·A0 · S −1 sunt funct¸ii de
forma:
uij(t)=
p
k=1
e λkt P ij
qk−1 (t)+
l
k=1
⎤
⎥
⎦
e µkt Q ij
ij
rk−1 (t) cosνkt+R rk−1 (t) sin νkt ,
i, j =1, n
unde λ1, . . .,λp sunt valorile proprii reale ale lui A cu ordinele de multiplicitate
respectiv q1, . . .,qp, µk + iνk, k = 1, l sunt valorile proprii complexe ale
lui A cu ordin de multiplicitate rk, iar Pqk−1, Qrk−1 ¸si Rrk−1 sunt polinoame
de grad qk − 1 ¸si rk − 1 respectiv, cu coeficient¸i reali.