Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

128 CAPITOLUL 4
Derivabilitatea în raport cu t a funct¸iei ∂t1X(t; t0, X 0 ) este o consecint¸ǎ a
acestei egalitǎt¸i.
În plus avem egalitǎt¸ile:
d
∂t1X(t; t0, X
dt
0 ) =
= − d
∂X1X(t; t0, X
dt
0 ) F(t0, X 0 ) =
= −∂XF(t, X(t; t0, X 0 )) · (∂ X 1X(t; t0, X 0 )) · F(t0, X 0 ) =
= ∂XF (t, X(t; t0, X 0 )) · ∂t1X(t; t0, X 0 )
∂t1X(t0; t0, X 0 ) = −F(t0, X 0 ).
În acest fel teorema de diferent¸iabilitate în raport cu condit¸iile init¸iale este
complet demonstratǎ.
Teorema 4.3.11 (de diferent¸iabilitate în raport cu parametru).
Dacǎ funct¸ia F = F(t, X, µ) satisface condit¸iile din Teorema 4.3.9 ¸si în plus
este de clasǎ C 1 în raport cu µ, atunci funct¸ia
(t; t0, X 0 , µ) → X(t; t0, X 0 , µ)
este diferent¸iabilǎ în raport cu µ ¸si au loc urmǎtoarele egalitǎt¸i:
d
dt (∂µX(t;t0,X 0 ,µ 0 )) = ∂XF(t, X(t; t0, X 0 , µ 0 ), µ 0 )·∂µX(t; t0, X 0 , µ 0 )+
+ ∂µF(t; X(t; t0, X 0 , µ 0 ), µ 0 )
∂µX(t0; t0, X 0 , µ 0 ) = 0.
Demonstrat¸ie: Fie e1 , e2 , ..., em baza canonicǎ în spat¸iul IR m .
Pentru t ∈ Iδ, µ 1 ∈ S(µ 0 , δ
2 ), h ∈ IR1 , |h| < δ,
2 Y ∈ IRn
¸si k = 1, m