Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ii hiperbolice 255
7.4 Problema Cauchy-Dirichlet pentru
ecuat¸ii hiperbolice
Fie Ω ⊂ IR n un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial netedǎ) ¸si
funct¸iile reale aij, c, u0, u1 : Ω → IR 1 , f : [0, +∞) × Ω → IR 1 ,
g : [0, +∞) × ∂Ω → IR 1 cu urmǎtoarele proprietǎt¸i:
i) aij sunt funct¸ii de clasǎ C 1 pe Ω ¸si aij = aji, i, j = 1, n;
c este continuǎ pe Ω;
u0 este de clasǎ C 1 pe Ω ¸si de clasǎ C 2 pe Ω;
u1 este continuǎ pe Ω ¸si de clasǎ C 1 pe Ω.
ii) existǎ µ0 > 0 astfel încât pentru orice (ξ1, ξ2, . . .,ξn) ∈ IR n sǎ aibe loc
inegalitatea:
n
i=1
n
aij(X) · ξi · ξj ≥ µ0
j=1
iii) c(X) ≥ 0, (∀)X ∈ Ω;
n
i=1
ξ 2 i , (∀)X ∈ Ω
iv) funct¸iile f : [0, +∞)×Ω → IR 1 ¸si g : [0, +∞)×∂Ω → IR 1 sunt continue.
Definit¸ia 7.4.1 Problema care constǎ în determinarea funct¸iilor reale u :
[0, +∞) × Ω → IR 1 continue pe [0, +∞) × Ω, de clasǎ C 1 pe [0, +∞) × Ω ¸si
de clasǎ C2 pe (0, +∞) × Ω, care au urmǎtoarele proprietǎt¸i:
∂2 n
n
u ∂
− aij(X)·
∂t2 ∂xi
∂u
+ c(X)·u=f(t, X),
∂xj
i=1
j=1
(∀)(t, X)∈(0,+∞)×Ω
(7.28)
u(t, X) =g(t, X), (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × ∂Ω. (7.29)
u(0, X) =u0(X), (∀)X ∈ Ω. (7.30)
∂u
∂t (0, X) =u1(X), (∀)X ∈ Ω. (7.31)
se nume¸ste Problemǎ Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia hiperbolicǎ.