Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

242 CAPITOLUL 7
b) Pentru a demonstra cǎ funct¸ia V : (0, +∞) → L 2 (Ω) este de clasǎ C 1 se
considerǎ un punct t0 ∈ (0, +∞) ¸si cu un rat¸ionament analog cu cel prezentat
anterior se aratǎ cǎ:
lim
u(t, X) − u(t0, X)
t→t0 t − t0
Ω
− ∂u
∂t (t0,
X)
2
dX = 0
ceea ce aratǎ cǎ funct¸ia V : (0, +∞) → IL 2 (Ω) este de clasǎ C 1 ¸si
dV
+ AV = F(t).
dt
c) pentru a demonstra cǎ funct¸ia V : (0, +∞) → XA este continuǎ se considerǎ
t0 ∈ (0, +∞) ¸si se aratǎ cǎ lim ||V (t) − V (t0)||XA = 0.
t→t0
d) V (0)(X) = u(0, X) = u0(X).
e) s-a demonstrat împreunǎ cu (b).
Fie acum A prelungirea Friedrichs, a operatorului A definit pe D( A), F o
funct¸ie F : [0, +∞) → L2 (Ω) continuǎ ¸si V0 ∈ L2 (Ω). Considerǎm problema
Cauchy:
⎧
⎪⎨
dV
dt
⎪⎩
+ AV = F(t)
(7.26)
V (0) = V0
Definit¸ia 7.2.4 O solut¸ie a acestei probleme este o funct¸ie
V : [0, +∞) → L 2 (Ω) care are urmǎtoarele proprietǎt¸i:
a) V ∈ C 1 ((0, +∞); L 2 ) ∩ C([0, +∞), L 2 )
b) V (t) ∈ D( A), (∀) t ∈ (0, +∞) ¸si dV
dt + AV = F(t).
c) V (0) = V0.
Definit¸ia 7.2.5 Problema Cauchy (7.26) va fi numitǎ problema Cauchy abstractǎ
pentru ecuat¸ia parabolicǎ, iar o solut¸ie a acesteia va fi numitǎ solut¸ie
”tare” a Problemei Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia parabolicǎ.
Observat¸ia 7.2.2 Dacǎ u(t, X) este o solut¸ie clasicǎ a Problemei Cauchy-
Dirichlet pentru ecuat¸ia parabolicǎ, atunci funct¸ia V definitǎ prin
V (t)(x) = u(t, X) este solut¸ie a problemei Cauchy abstracte pentru ecuat¸ia
parabolicǎ.