Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Teoreme de existent¸ǎ ¸si unicitate pentru ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi 97
variabila x pe ∆, atunci problema cu date init¸iale (4.1) are o solut¸ie localǎ
definitǎ pe intervalul Ih = [t0 − h, t0 + h], unde h = min
M = max |f(t, x)| ¸si K este constanta lui Lipschitz pe ∆:
(t,x)∈△
|f(t, x) − f(t, y)| ≤ K|x − y|, ∀(t, x), (t, y) ∈ △.
a, b
M ,
1
K + 1
Demonstrat¸ie: Considerǎm funct¸ia constantǎ x0(t) ≡ x0 ¸si pornind de la
ea, construim ¸sirul de funct¸ii {xn(t)} n∈IN definit astfel:
x1(t) = x0 +
x2(t) = x0 +
x3(t) = x0 +
.........
xn(t) = x0 +
.........
t
t0 t
t0 t
t0
t
t0
f(τ, x0(τ))dτ;
f(τ, x1(τ))dτ;
f(τ, x2(τ))dτ;
f(τ, xn−1(τ))dτ;
(∀)t ∈ Ih.
Arǎtǎm la început cǎ funct¸iile din acest ¸sir sunt bine definite. Aceasta
revine la a arǎta cǎ pentru orice n ≥ 1 ¸si t ∈ Ih avem (t, xn(t)) ∈ Ω.
Folosim metoda induct¸iei matematice, vom arǎta cǎ pentru orice t ∈ Ih
avem (t, xn(t)) ∈ ∆.
Etapa I (a verificǎrii):
Pentru n = 1 avem:
x1(t) = x0 +
t
t0
f(τ, x0(τ))dτ;
¸si deci |x1(t) − x0| ≤ M|t − t0| ≤ Mh ≤ b, (∀)t ∈ Ih.
Rezultǎ astfel cǎ (t, x1(t)) ∈ ∆ pentru orice t ∈ Ih.
Pentru n = 2 avem:
x2(t) = x0 +
t
t0
f(τ, x1(τ))dτ;
,