Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 125
Demonstrat¸ie: Pentru t ∈ Iδ, X 1 ∈ S(X 0 , δ/2), h ∈ S(0, δ/2) ¸si
Y ∈ IR n considerǎm funct¸ia:
=
H(t, t0, X 1 , h, Y ) =
⎧
1
⎨
⎩
0
∂XF(t, X(t; t0, X 1 )+s·[X(t; t0, X 1 +h)−X(t; t0, X 1 )])ds
⎫
⎬
⎭ ·Y
Funct¸ia H definitǎ în acest mod este continuǎ în raport cu t ¸si este liniarǎ
în raport cu Y. În plus funct¸ia H este continuǎ în raport cu (t, h).
Fie e 1 , e 2 , . . .,e n baza canonicǎ din R n ¸si ξ ∈ R astfel ca |ξ| < δ/2.
Problemele Cauchy:
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
˙Y k
ξ = H(t, t0, X 1 , ξ · e k , Y k
ξ )
Y k
ξ (t0) = e k
˙Y k
ξ = H(t, t0, X 1 , 0, Y k )
Y k (t0) = e k
au solut¸ii definite pe intervalul Iδ pentru k = 1, 2, . . ., n. În plus pentru orice
interval compact I∗ ⊂ Iδ avem lim
ξ→0 Y k
ξ (t) = Y k (t) uniform în raport cu t ∈ I∗.
Pe de altǎ parte pentru ξ = 0 avem:
pentru orice t ∈ Iδ.
Prin urmare, existǎ limita
Y k 1
ξ (t) =
ξ [X(t; t0, X 1 + ξ · e k ) − X(t; t0, X 1 )]
1
lim
ξ→0 ξ [X(t; t0, X 1 + ξ · e k ) − X(t; t0, X 1 )]
¸si este egalǎ cu Y k (t) pentru t ∈ Iδ.
Aceasta demonstreazǎ cǎ funct¸ia X(t; t0, X 1 ) are derivate part¸iale în raport