Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

158 CAPITOLUL 4
Astfel, rezultǎ cǎ funct¸iile xm+1, ..., xn verificǎ un sistem de n −m ecuat¸ii
diferent¸iale de ordinul întâi.
Dacǎ m = n atunci sistemul algebric (4.22) este
din care obt¸inem:
Uk(t, x1, x2, ..., xn) − ck = 0, k = 1, n
xk = ϕ(t, c1, ..., cm) k = 1, n.
Imprecis, dar sugestiv putem spune, cu cât avem mai multe integrale
prime cu atât mai mult se reduce dimensiunea sistemului diferent¸ial. Dacǎ
m = n problema rezolvǎrii sistemului diferent¸ial se reduce la rezolvarea unui
sistem algebric.
Vom relua în continuare câteva exemple în cazul unei singure ecuat¸ii n = 1
când este nevoie doar de o singurǎ integralǎ primǎ.
Exemple:
1. Arǎtat¸i cǎ dacǎ f : (a, b) → IR 1 este funct¸ie continuǎ, atunci funct¸ia
U(t, x) = x −
t
t∗
f(τ)dτ
este integralǎ primǎ pentru ecuat¸ia diferent¸ialǎ ˙x = f(t). Deducet¸i în
acest fel cǎ solut¸iile acestei ecuat¸ii diferent¸iale sunt solut¸iile ecuat¸iei
algebrice
x −
t
t∗
f(τ)dτ − c = 0.
2. Arǎtat¸i cǎ dacǎ g : (c, d) → IR 1 este o funct¸ie continuǎ care nu se
anuleazǎ, atunci funct¸ia
U(t, x) = t −
x
x∗
du
g(u)
este integralǎ primǎ pentru ecuat¸ia diferent¸ialǎ ˙x = g(x).
Deducet¸i astfel cǎ solut¸iile acestei ecuat¸ii diferent¸iale sunt solut¸iile
ecuat¸iei algebrice x
du
t − − c = 0.
g(u)
x∗