Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Probleme la limitǎ pentru ecuat¸ia lui Poisson 201
6.4 Probleme la limitǎ pentru
ecuat¸ia lui Poisson
Fie Ω ⊂ IR n un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (part¸ial netedǎ) ¸si
f o funct¸ie f : ¯ Ω → IR 1 de clasǎ C 1 pe Ω.
Definit¸ia 6.4.1 Ecuat¸ia lui Poisson este o relat¸ie de dependent¸ǎ funct¸ionalǎ
de forma
−∆u = f(X), (∀)X = (x1, . . ., xn) ∈ Ω (6.20)
dintre o funct¸ie necunoscutǎ u : Ω → IR 1 ¸si funct¸ia datǎ f de clasǎ C 1 pe ¯ Ω.
n
∂
În ecuat¸ia (6.20) ∆u înseamnǎ
i=1
2u ∂x2 (adicǎ Laplacianul funct¸iei u) iar
i
funct¸ia u : ¯ Ω → IR 1 este solut¸ie clasicǎ dacǎ este continuǎ pe ¯ Ω, de clasǎ C2 în Ω ¸si satisface egalitatea:
n
i=1
∂2u ∂x2 (x1, ..., xn) = f(x1, ..., xn), (∀)(x1, ..., xn) ∈ Ω.
i
Definit¸ia 6.4.2 Problema Dirichlet pentru ecuat¸ia lui Poisson este problema
determinǎrii acelor solut¸ii ale ecuat¸iei (6.20) care verificǎ condit¸ia la
frontierǎ
u|∂Ω = h (6.21)
unde h este o funct¸ie h : ∂Ω → IR 1 continuǎ pe ∂Ω consideratǎ cunoscutǎ.
Problema Dirichlet pentru ecuat¸ia lui Poisson se noteazǎ tradit¸ional:
−∆u = f,
u|∂Ω = h
(∀)(x1, ..., xn) ∈ Ω
. (6.22)
Definit¸ia 6.4.3 Problema Neumann pentru ecuat¸ia lui Poisson este problema
determinǎrii acelor solut¸ii ale ecuat¸iei (6.20) care verificǎ condit¸ia la
frontierǎ
∂u
= g (6.23)
∂¯n
∂Ω
unde g este o funct¸ie g : ∂Ω → IR 1 continuǎ pe ∂Ω consideratǎ cunoscutǎ ¸si
¯n este versorul normalei exterioare.