Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

202 CAPITOLUL 6
Problema Neumann pentru ecuat¸ia lui Poisson se noteazǎ tradit¸ional:
⎧
⎨
⎩
−∆u = f, (∀)(x1, ..., xn) ∈ Ω
∂u
= g
∂¯n
∂Ω
. (6.24)
Teorema 6.4.1 (de unicitate a solut¸iei Problemei Dirichlet)
Dacǎ Problema Dirichlet (6.22) are solut¸ie, aceastǎ solut¸ie este unicǎ.
Demonstrat¸ie: Fie u1 ¸si u2 douǎ solut¸ii ale Problemei Dirichlet (6.22).
Considerǎm funct¸ia u = u1 − u2 pentru care avem:
∆u = 0 ¸si u|∂Ω = 0.
Rezultǎ de aici, pe baza principiului de maxim a funct¸iilor armonice, cǎ
u ≡ 0. Prin urmare u1 = u2.
Teorema 6.4.2 (de neunicitate a solut¸iei Problemei Neumann)
Dacǎ u este o solut¸ie a Problemei Neumann (6.24), atunci ¸si u + C este
o solut¸ie a Problemei Neumann, unde C este o constantǎ. Dacǎ u, v sunt
solut¸ii ale Problemei Neumann (6.24), atunci u − v = const.
Demonstrat¸ie: Fie u o solut¸ie a problemei (6.24) ¸si v = u + C. Întrucât
∆v = ∆u ¸si ∂v
∂¯n =
∂Ω
∂u
∂¯n = g, rezultǎ cǎ v este solut¸ie a problemei (6.24).
∂Ω
Dacǎ u, v sunt solut¸ii ale problemei (6.24) atunci w = u − v verificǎ:
∆w = 0 ¸si
∂w
∂¯n
∂Ω
= 0.
În baza formulelor de reprezentare rezultǎ w = const.
Teorema 6.4.3 Condit¸ia necesarǎ pentru ca Problema Neumann (6.24) sǎ
aibǎ solut¸ie este ca funct¸iile f ¸si g sǎ verifice egalitatea:
g(Y ) dSY + f(Y ) dY = 0. (6.25)
∂Ω
Ω