Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi liniare omogene 79
are o solut¸ie nebanalǎ ci = c0 i , i = 1, n. Cu o asemenea solut¸ie nebanalǎ
ci = c0 i, i = 1, n (c0 i nu sunt toate nule) construim funct¸ia:
X(t) =
n
i=1
c 0 i · Xi (t) t ∈ IR 1 .
Funct¸ia X(t) construitǎ astfel este solut¸ie a sistemului (3.2) ¸si se anuleazǎ în
t0:
n
X(t0) =
i=1
c 0 i · X i (t0) = 0.
În virtutea teoremei de unicitate rezultǎ cǎ funct¸ia X(t) este identic nulǎ:
n
i=1
c 0 i · X i (t) = 0, (∀)t ∈ IR 1 .
Aceastǎ însǎ este absurd, deoarece sistemul de n solut¸ii {X i (t) i=1,n } este independent.
Trecem acum sǎ arǎtǎm suficient¸a condit¸iei. Presupunem cǎ wronskianul
W(X 1 (t), . . .,X n (t)) = det(x i j(t)) nu se anuleazǎ ¸si arǎtǎm cǎ sistemul de
solut¸ii {X i (t) i=1,n } este fundamental.
Rat¸ionǎm prin reducere la absurd ¸si presupunem cǎ sistemul de solut¸ii {X i (t) i=1,n }
nu este fundamental (nu este liniar independent).
un sistem de constante {c 0 i }, i = 1, n, nu toate nule astfel cǎ
n
i=1
c 0 i · Xi (t) = 0
pentru orice t ∈ IR 1 . Egalitatea aceasta implicǎ egalitǎt¸ile
n
i=1
c 0 i · xi j (t) = 0 (∀)t ∈ IR1 j = 1, n
ceea ce aratǎ cǎ det(x i j(t)) = 0 (∀)t ∈ IR 1 ; absurd.
În aceastǎ ipotezǎ existǎ
Teorema 3.1.5 (Liouville). Un sistem de n solut¸ii {X i (t) i=1,n } ale sistemului
(3.2) este fundamental dacǎ ¸si numai dacǎ existǎ un punct t0 ∈ IR 1 în
care wronskianul sistemului de solut¸ii
este nenul.
W(X 1 (t), . . .,X n (t)) = det(x i j(t))