Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul al doilea cu coeficient¸i constant¸i 51
¸si solut¸ia generalǎ
x(t) = e λ1t (C1 + C2t) +
+ e λt
− 1
a2
t
t ∗
e −λτ · τ · f(τ)dτ + t
a2
t
t ∗
e −λτ
· f(τ)dτ
(2.21)
În cazul în care ecuat¸ia algebricǎ (2.5) are rǎdǎcinile complexe λ1 = µ+iν
¸si λ1 = µ − iν, cu metoda variat¸iei constantelor gǎsim solut¸ia particularǎ:
¸si solut¸ia generalǎ
x(t) = − 1
a2ν · eµt · cos νt
+ 1
a2ν · eµt · sin νt
t
t∗ t
t ∗
e −µτ · sin ντ · f(τ)dτ +
e −µτ · cosντ · f(τ)dτ
x(t) = C1e µt · cosνt + C2e µt · sin νt −
− 1
a2ν · eµt · cos νt
+ 1
a2ν · eµt · sin νt
t
t∗ t
t ∗
e −µτ · sin ντ · f(τ)dτ +
e −µt · cosντ · f(τ)dτ (2.22)
În general pentru orice t0, x 0 0, x 1 0 ∈ IR 1 putem determina constantele C1 ¸si
C2 din formula de reprezentare a solut¸iei x(t) a ecuat¸iei neomogene ((2.20),
(2.21), (2.22)) astfel încât sǎ avem x(t0) = x 0 0 ¸si ˙x(t0) = x 1 0 .
Folosind una din formulele (2.20), (2.21), (2.22), determinatǎ de natura
rǎdǎcinilor ecuat¸iei L · λ 2 + R · λ + 1
= 0, putem determina toate solut¸iile
C
ecuat¸iei (∗) din problema 2.1.1. Cunoscând valoarea i0 a curentului la momentul
t0 ¸si valoarea variat¸iei curentului i 1 0 la momentul t0, se determinǎ constantele
C1 ¸si C2 din formulele de reprezentare a solut¸iei astfel încât solut¸ia
oarecare i(t) a ecuat¸iei sǎ verifice condit¸iile init¸iale i(t0) = i0 ¸si ˙i(t0) = i 1 0 .
Exercit¸ii
1. Rezolvat¸i urmǎtoarele probleme cu date init¸iale:
a) ¨x − x = 0 x(0) = 2, ˙x(0) = 0