Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Ecuat¸ii omogene generalizate 19
1.5 Ecuat¸ii omogene generalizate
Ecuat¸iile omogene generalizate sunt ecuat¸ii diferent¸iale de forma:
at + bx + c
˙x = f
a1t + b1x + c1
(1.31)
în care funct¸ia realǎ f este consideratǎ continuǎ ¸si cunoscutǎ, ¸si unde c 2 1+c 2 =
0 (dacǎ c1 = c = 0, ecuat¸ia este omogenǎ în sens Euler). Pentru determinarea
solut¸iilor acestei ecuat¸ii t¸inem seama de urmǎtoarele rezultate:
Propozit¸ia 1.5.1 Dacǎ a
a1
= b
b1
atunci în urma schimbǎrii de variabilǎ
independentǎ t ¸si de funct¸ie necunoscutǎ x definite de formulele:
τ = t − t0 ¸si y = x − x0
(1.32)
ecuat¸ia diferent¸ialǎ (1.31) se transformǎ în ecuat¸ia diferent¸ialǎ omogenǎ în
sens Euler:
dy aτ + by
= f
dτ a1τ + b1y
(1.33)
unde (t0, x0) este solut¸ia sistemului de ecuat¸ii algebrice
at + bx + c = 0
a1t + b1x + c1 = 0.
(1.34)
Demonstrat¸ie: Prin calcul.
În urma schimbǎrii de funct¸ie necunoscutǎ definitǎ prin
z = y
(1.35)
τ
ecuat¸ia (1.33) se transformǎ în ecuat¸ia diferent¸ialǎ cu variabile separate
dz 1 a + bz
= f
− z . (1.36)
dτ τ a1 + b1z
Propozit¸ia 1.5.2 Dacǎ a
necunoscutǎ x definitǎ de
a1
= b
b1
= m, atunci în urma schimbǎrii de funct¸ie
y(t) = a1t + b1x(t) (1.37)
ecaut¸ia diferent¸ialǎ (1.31) se transformǎ în ecuat¸ia diferent¸ialǎ autonomǎ
my + c
˙y = a1 + b1 · f . (1.38)
y + c1