Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

180 CAPITOLUL 6
Prin urmare, coeficient¸ii derivatelor part¸iale de ordinul al doilea se schimbǎ
la fel cu coeficient¸ii formei pǎtratice sub act¸iunea transformǎrii liniare:
yj =
n ∂ξk
· ηk.
∂xi
k=1
Se ¸stie cǎ, prin alegerea unei transformǎri liniare adecvate, forma pǎtraticǎ se
poate fi adusǎ la forma diagonalǎ:
aduce la forma canonicǎ (adicǎ matricea a 0 ij
|a 0 ii| = 1 sau 0 ¸si, a 0 ij = 0 dacǎ i = j). Aceasta înseamnǎ cǎ alegând în mod
adecvat transformarea ξk = ξk(x1, ..., xn), k = 1, n, coeficient¸ii derivatelor
part¸iale ∂2 v
∂ξ 2 k
în punctul ξk = ξk(x0 1 , ..., x0n ), k = 1, n vor fi egali cu +1, −1 sau
0, iar coeficient¸ii derivatelor part¸iale ∂2v vor fi nuli.
∂ξk∂ξl
Conform legii inert¸iei, numǎrul coeficient¸ilor a0 ii pozitivi, negativi sau nuli
nu depinde de transformarea liniarǎ care aduce forma pǎtraticǎ la forma
canonicǎ. Aceasta permite sǎ dǎm urmǎtoarea definit¸ie:
Definit¸ia 6.1.3
i) Zicem cǎ ecuat¸ia (6.1) este elipticǎ în punctul (x0 1 , . . .,x0 n ) dacǎ tot¸i
cei n coeficient¸i a0 ii sunt de acela¸si semn.
ii) Zicem cǎ ecuat¸ia (6.1) este hiperbolicǎ în punctul (x 0 1 , . . .,x0 n
) dacǎ
(n − 1) coeficient¸i a 0 ii au acela¸si semn ¸si unul din coeficient¸i are
semn contrar.
iii) Zicem cǎ ecuat¸ia (6.1) este ultra-hiperbolicǎ în punctul (x 0 1 , . . .,x0 n )
dacǎ printre coeficient¸ii a 0 ii existǎ m coeficient¸i de un semn ¸si n − m
coeficient¸i de semn contrar.
iv) Zicem cǎ ecuat¸ia (6.1) este parabolicǎ dacǎ cel put¸in unul din coeficient¸ii
a 0 ii este nul.
Observat¸ia 6.1.1 În acord cu definit¸ia anterioarǎ, ecuat¸ia (6.1) are una
dintre urmǎtoarele forme standard:
i) Ecuat¸ie de tip eliptic în (x 0 1 , . . .,x0 n ):
∂ 2 v
∂ξ 2 1
+ ∂2 v
∂ξ 2 2
+ . . . + ∂2v + Φ = 0; (6.3)
∂ξn