Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

210 CAPITOLUL 6
Pentru ca problema (6.45) sǎ aibe solut¸ie este necesar ca
g(Y )dsY = 0 (6.46)
∂Ω
¸si dacǎ aceastǎ condit¸ie este îndeplinitǎ, atunci, folosind funct¸ia Green pentru
Problema Neumann, se pot determina solut¸iile prolemei (6.45), (care diferǎ
printr-o constantǎ aditivǎ).
Scopul nostru în acest paragraf este sǎ prezentǎm o altǎ metodǎ, numitǎ
”separarea variabilelor”, cu care se pot determina solut¸iile problemelor (6.44)
¸si (6.45). Deoarece s-a considerat Ω ca fiind un domeniu circular vom face
mai întâi o schimbare de coordonate, mai exact vom scrie problemele (6.44)
¸si (6.45) în coordonate polare:
x1 = r cos ϕ
, r > 0, ϕ ∈ [0, 2π). (6.47)
x2 = r sin ϕ
Notǎm cu T transformarea (r, ϕ) → (x1, x2) definitǎ de (6.47). Dacǎ u este
o funct¸ie care satisface ecuat¸ia (6.43) atunci notǎm cu u funct¸ia u = u ◦ T.
Folosind regulile de derivare ale funct¸iilor compuse deducem cǎ u verificǎ
ecuat¸ia:
∂2u 1
+
∂r2 r2 ∂2u 1 ∂u
+
∂ϕ2 r ∂r
= 0 (6.48)
care se nume¸ste ecuat¸ia lui Laplace în coordonate polare.
Metoda separǎrii variabilelor constǎ în cǎutarea unor solut¸ii u(r, ϕ) de
forma:
u(r, ϕ) = P(r) · Q(ϕ) (6.49)
adicǎ solut¸ii care sunt produse de funct¸ii ce depind fiecare de câte o variabilǎ
r, respectiv ϕ. Impunând la (6.49) sǎ verifice (6.48) rezultǎ:
r 2P′′
P
+ rP′
P
= −Q′′ . (6.50)
Q
Membrul stâng în aceastǎ egalitate depinde doar de r iar membrul drept de
ϕ. Cum r ¸si ϕ sunt variabile independente rezultǎ cǎ fiecare membru este
constant. Dacǎ notǎm cu λ aceastǎ constantǎ atunci deducem din (6.50)
egalitǎt¸ile:
r 2 P ′′ + rP ′ − λP = 0 (6.51)