Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul al doilea cu coeficient¸i constant¸i 45
Observat¸ia 2.1.1 Dacǎ f = 0 atunci ecuat¸ia (2.3) se nume¸ste ecuat¸ie diferent¸ialǎ
liniarǎ de ordinul doi cu coeficient¸i constant¸i omogenǎ, iar dacǎ f = 0 ecuat¸ia
(2.3) se nume¸ste ecuat¸ie diferent¸ialǎ liniarǎ de ordinul doi cu coeficient¸i
constant¸i neomogenǎ.
Vom determina mai întâi solut¸iile ecuat¸iei omogene urmând apoi sǎ determinǎm
¸si solut¸iile ecuat¸iei neomogene.
Fie ecuat¸ia omogenǎ ata¸satǎ ecuat¸iei (2.3):
a2¨x + a1 ˙x + a0x = 0 (2.4)
Dacǎ a2 = 0 atunci ecuat¸ia (2.4) este o ecuat¸ie liniarǎ de ordinul întâi:
¸si solut¸iile ei sunt date de formula
a1 ˙x + a0x = 0
x(t) = Ce − a 0
a1 t
în care C este o constantǎ realǎ oarecare. Observǎm cǎ raportul − a0
exponent, este solut¸ia ecuat¸iei algebrice a1 ·λ+a0 = 0, iar la formula solut¸iei
x(t) = Ce − a 0
a1 t se poate ajunge nu numai pe calea descrisǎ în Capitolul 1 § 6
ci ¸si cǎutând solut¸ii de forma x(t) = Ce λt . Aceasta este ideea pe care o vom
folosi pentru a determina solut¸iile ecuat¸iei (2.4).
Impunând unei funct¸ii de forma x(t) = Ce λt sǎ verifice ecuat¸ia (2.4)
rezultǎ cǎ λ trebuie sǎ verifice ecuat¸ia de gradul al doilea:
a1
din
a2λ 2 + a1λ + a0x = 0. (2.5)
Dacǎ rǎdǎcinile λ1 ¸si λ2 ale ecuat¸iei (2.5) sunt reale ¸si distincte, atunci
funct¸iile
x1(t) = C1e λ1t ¸si x2(t) = C2e λ2t
sunt solut¸ii ale ecuat¸iei (2.4) ¸si funct¸ia
x(t) = C1e λ1t + C2e λ2t
este de asemenea solut¸ie a ecuat¸iei (2.4). Mai mult, pentru orice
t0, x 0 0, x 1 0 ∈ IR 1 putem determina în mod unic constantele C1 ¸si C2 astfel
încât sǎ aibǎ loc
x(t0) = x0 0 ¸si ˙x(t0) = x1 0 . (2.6)