Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

270 CAPITOLUL 7
problema se reduce la convergent¸a uniformǎ pe [0,T] a seriei
+∞
T
(τ)dτ. Aceastǎ din urmǎ convergent¸ǎ se obt¸ine din convergent¸a
j=1
0
f 2 j
uniformǎ a seriei
+∞
f 2 j (τ)dτ pe [0,T], care rezultǎ pe baza teoeremei lui
j=1
Dini din continuitatea ¸si pozitivitatea funct¸iilor f2 j
F(τ) 2 +∞
¸si egalitatea f 2 j (τ) = F(τ) 2 , (∀)τ ∈ [0, T].
(τ), continuitatea funct¸iei
În acest fel, se
j=1
obt¸ine cǎ formula (7.44) define¸ste o funct¸ie
U ∈ C1 ([0, +∞); L2 (Ω)).
Urmeazǎ sǎ arǎtǎm apartenet¸a U ∈ C([0, +∞); H 1 0).
Convergent¸a uniformǎ în raport cu t ∈ [0, +∞) a seriei
+∞
< u0, ωj > L2 (Ω) · cos λj · t · ωj
j=1
în H1 0 poate fi asiguratǎ prin convergent¸a uniformǎ în raport cu t ∈ [0, +∞)
a seriei:
+∞
j=1
λj < u0, ωj >L 2 (Ω) · cos λj · t · ωj
λj
în H 1 0.
Convergent¸a acestei serii rezultǎ din convergent¸a seriei numerice
+∞
λj| < u0, ωj > L2 (Ω) | 2 ,
j=1
convergent¸ǎ ce este asiguratǎ de ipoteza u0 ∈ H 1 0.
Convergent¸a uniformǎ în raport cu t ∈ [0, +∞) a seriei de funct¸ii
+∞
j=1
1
· < u1, ωj > L2 (Ω) · sin
λj
λj · t · ωj
este asiguratǎ de convergent¸a seriei
+∞
în spat¸iul H1 0
j=1
convergent¸ǎ care rezultǎ din apartenent¸a u1 ∈ L2 (Ω).
| < u1, ωj > | 2
L 2 (Ω) ,