Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

194 CAPITOLUL 6
Pentru aceasta, considerǎm pe discul B(X, r) funct¸iile P ≡ 1 ¸si Q = u ¸si
aplicǎm prima formulǎ a lui Green:
P · ∆Qdy1dy2 = P ·
B(X,r)
∂B(X,r)
∂Q
dsY − ∇P · ∇Qdy1dy2
∂nY B(X,r)
de unde se obt¸ine:
0 =
∂B(X,r)
P · ∂Q
dsY =
∂nY ∂B(X,r)
∂u
dsY .
∂nY
Observat¸ia 6.2.2 Din demonstrat¸ie rezultǎ cǎ integrala derivatei normale
a unei funct¸ii armonice pe un cerc este zero:
∂u
(Y )dsY = 0.
∂B(X,r) ∂nY
Acest rezultat se poate generaliza.
Consecint¸a 6.2.1 Dacǎ u este o funct¸ie armonicǎ de clasǎ C 2 pe Ω ¸si este
de clasǎ C 1 pe Ω, atunci are loc egalitatea:
∂Ω
∂u
(Y )dsY = 0.
∂nY
Demonstrat¸ie: Pentru a demonstra aceastǎ egalitate se aplicǎ prima formulǎ
a lui Green în cazul funct¸iilor P ≡ 1 ¸si Q = u:
P · ∆Qdx1dx2 = P ·
Ω
∂Ω
∂Q
dsY − ∇P · ∇Qdx1dx2
∂nY Ω
adicǎ
0= 1 · ∆udx1dx2= 1 ·
Ω
∂Ω
∂u
∂u
dsY − ∇1 · ∇udx1dx2= dsY .
∂nY Ω
∂Ω ∂nY
O altǎ proprietate importantǎ a funct¸iilor armonice se referǎ la localizarea
punctelor în care aceste funct¸ii î¸si ating extremele:
Teorema 6.2.7 (teorema de extrem a funct¸iilor armonice)
Dacǎ Ω ∈ IR 2 este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ ¸si funct¸ia
armonicǎ u : Ω → IR 1 este de clasǎ C 1 pe Ω, atunci u este constantǎ pe Ω
sau î¸si atinge extremele pe frontiera ∂Ω.