Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Reducerea ecuat¸iilor diferent¸iale liniare de ordinul n la un sistem 89
în care λj, j = 1, k sunt rǎdǎcinile reale ale ecuat¸iei (3.11) cu ordin de multiplicitate
respectiv q1, . . .,qp; µj + iνk, k = 1, l sunt rǎdǎcinile complexe ale
ecuat¸iei (3.11) cu ordin de multiplicitate rj, iar Pqj−1, Qrj−1 ¸si Rrj−1 sunt
polinoame de grad qj − 1 respectiv rj − 1.
Dacǎ ecuat¸ia diferent¸ialǎ de ordinul n liniarǎ cu coeficient¸i constant¸i este
neomogenǎ:
an · x (n) + an−1 · x (n−1) + . . . + a1 · ˙x + a0 · x = f(t) (3.12)
¸si an = 0, iar f(t) este o funct¸ie continuǎ pe IR 1 , atunci orice solut¸ie x = x(t)
a acestei ecuat¸ii este de forma:
x(t)=
p
e λjt
Pqj−1(t)+
j=1
l
e µjt Qrj−1(t) cosνjt+Rrj−1(t) sin νjt +¯x(t)
j=1
unde x(t) este o solut¸ie fixatǎ a ecuat¸iei (3.12).
Dacǎ ecuat¸ia (3.12) nu are rǎdǎcini pur imaginare ¸si f este periodicǎ de
perioadǎ T, atunci ecuat¸ia (3.12) are o singurǎ solut¸ie periodicǎ de perioadǎ
T.
Problema 3.3.1 Arǎtat¸i cǎ ecuat¸ia diferent¸ialǎ:
L · d2i di 1
+ R · +
dt2 dt C · i = −E0 · ω sin ωt
care guverneazǎ evolut¸ia intensitǎt¸ii curentului într-un circuit R, L, C (R, L, C
constante pozitive) cuplat la o sursǎ de curent alternativ are o singurǎ solut¸ie
periodicǎ pe perioadǎ 2π
¸si toate celelalte solut¸ii tind la aceastǎ solut¸ie.
ω
Rezolvare: Se considerǎ o solut¸ie particularǎ de forma
i(t) = A · cos ωt + B · sin ωt
care se înlocuie¸ste în ecuat¸ie ¸si se determinǎ constantele A ¸si B. Aceasta este
solut¸ia periodicǎ cǎutatǎ.
Dupǎ aceasta, se scrie formula unei solut¸ii oarecare i(t) ¸si se face diferent¸a
i(t) − i(t) care este o solut¸ie a ecuat¸iei omogene (f(t) = 0). Deoarece R > 0
se obt¸ine cǎ i(t) − i(t) → 0 pentru t → ∞ adicǎ, i(t) → i(t).