Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Ecuat¸ia elipticǎ de tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 225
din care utilizând Cauchy-Buniakovski rezultǎ:
|u(X)| ≤
xi
0
De aici obt¸inem:
∂u
(x1, ..., xi−1, ξ, xi+1, ..., xn)dξ ≤
∂xi
xi 1/2
xi
≤ dξ
∂u
(x1, ..., xi−1, ξ, xi+1, ..., xn)
0
0 ∂xi
≤ a 1/2
a
2
1/2
∂u
|(x1, ..., xi−1, ξ, xi+1, ...xn)
dξ .
0 ∂xi
Γa
Γa
|u(X)| 2 dX ≤ a 2
|u(X)| 2 dX ≤ a2
n
Γa
Γa
2
∂u
dX
∂xi
n
2
∂u
dX.
∂xi
i=1
2
dξ
1/2
Astfel rezultǎ astfel cǎ pentru k = a2
are loc inegalitatea (7.9).
n
Teorema 7.1.4 (de
Au = F).
caracterizare variat¸ionalǎ a solut¸iei ecuat¸iei
Funct¸ia u0 ∈ D este solut¸ie a ecuat¸iei Au = F (F ∈ C(Ω)) dacǎ ¸si numai
dacǎ u0 este punct de minim pentru funct¸ionala:
ΦF : D → IR 1
, ΦF(u) = Au · udX − 2 F · udX. (7.10)
Ω
Demonstrat¸ie: Dacǎ u0 ∈ D este solut¸ie a ecuat¸iei Au = F atunci Au0 = F
¸si pentru orice u ∈ D avem:
ΦF(u) − ΦF(u0)= Au·udX −2 F ·udX − Au0·u0dX+2 F ·u0dX =
=
=
=
Ω
Ω
Au·udX −2 Au0·u− Au0·u0dX+2
Ω
Ω
Ω
Au· udX −
Ω
Ω
Ω
Au0· u −
A(u − u0) · (u − u0)dX ≥ γ
Ω
u0 ·AudX+
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Au0·u0dX =
Au0· u0dX =
|u − u0| 2 dX ≥ 0.
≤