Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Ecuat¸ii diferent¸iale cu variabile separate 11
1.3 Ecuat¸ii diferent¸iale cu variabile
separate
O ecuat¸ie diferent¸ialǎ cu variabile separate are forma
˙x = f(t) · g(x), (1.16)
unde f ¸si g sunt funct¸ii reale continue, f : (a, b) → IR 1 , g : (c, d) → IR 1
¸si se considerǎ cunoscute. Dacǎ funct¸ia g nu se anuleazǎ pe intervalul (c, d)
(g(x) = 0, (∀)x ∈ (c, d)) atunci solut¸iile ecuat¸iei (1.16) se determinǎ fǎcânduse
un rat¸ionament asemǎnǎtor cu cel din paragraful precedent.
Dacǎ x : I ⊂ (a, b) → (c, d) este o solut¸ie a ecuat¸iei (1.16) atunci pentru
orice t ∈ I are loc
sau
Trecând la primitive rezultǎ
t
t ∗
dx
dt
= f(t) · g(x(t))
1 dx
·
g(x(t)) dt
= f(t)
1 dx
· dτ =
g(x(τ)) dτ
t
t ∗
f(τ)
care printr-o schimbare de variabilǎ conduce la egalitatea
x
x ∗
1
du =
g(u)
t
t ∗
f(τ) + C. (1.17)
Am obt¸inut în acest fel cǎ o solut¸ie a ecuat¸iei (1.16) este solut¸ie pentru
ecuat¸ia implicitǎ
G(x, t; C) = 0 (1.18)
în care funct¸ia G(x, t; C) este datǎ de egalitatea:
G(x, t; C) =
t
t ∗
f(τ) + C −
x
x ∗
1
du. (1.19)
g(u)
Folosind teorema funct¸iilor implicite se aratǎ u¸sor cǎ dacǎ x(t, C) este o
solut¸ie a ecuat¸iei (1.18) atunci este solut¸ie ¸si a ecuat¸iei diferent¸iale (1.16).