Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

72 CAPITOLUL 3
C 1 este solut¸ie a sistemului (3.1) dacǎ verificǎ
pentru orice t ∈ IR 1 .
dxi
dt =
n
aij · xi(t)
j=1
Definit¸ia 3.1.3 Fiind date t0 ∈ IR ′ ¸si (x 0 1, x 0 2, . . .,x 0 n) ∈ IR n problema determinǎrii
solut¸iei (x1(t), x2(t), . . ., xn(t)) a sistemului (3.1) care verificǎ
xi(t0) = x 0 i i = 1, n se nume¸ste problemǎ cu date init¸iale sau problemǎ
Cauchy.
Pentru reprezentarea matricealǎ a sistemului (3.1) notǎm cu A matricea
pǎtraticǎ care are ca elemente constantele aij: A = (aij) i,j=1,n ¸si cu X matricea
coloanǎ X = (x1, x2, . . .xn) T . Cu aceste matrice sistemul (3.1) se scrie
sub forma matricealǎ:
˙X = A · X. (3.2)
În aceastǎ problemǎ derivarea funct¸iei matriceale X = X(t) înseamnǎ derivarea
elementelor matricei, iar produsul A ·X însemnǎ produsul dintre matricea A
¸si matricea X.
Problema Cauchy (problema cu date init¸iale) se scrie matriceal sub forma:
˙X = A · X, X(t0) = X 0
(3.3)
¸si constǎ în determinarea funct¸iei matriceale X = X(t) care verificǎ ecuat¸ia
(3.2) ¸si condit¸ia init¸ialǎ X(t0) = X 0 .
Teorema 3.1.1 (de existent¸ǎ a solut¸iei problemei Cauchy)
Pentru orice t0 ∈ IR 1 ¸si X 0 = (x 0 1 , x0 2 , . . .x0 n )T problema Cauchy (3.3) are o
solut¸ie definitǎ pe IR 1 .
Demonstrat¸ie: Considerǎm ¸sirul de funct¸ii matriceale definite astfel: