Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Teoreme de existent¸ǎ ¸si unicitate pentru sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi107
pentru orice t ∈ Ih, din convergent¸a seriei numerice b·
teorema lui Weierstrass, rezultǎ cǎ seria de funct¸ii
X 0 ∞
k+1 k
(t) + X (t) − X (t)
k=0
∞
k=0
k K
, folosind
K + 1
este absolut ¸si uniform convergentǎ pe intervalul Ih, la o funct¸ie X(t). Astfel,
¸sirul sumelor part¸iale adicǎ ¸sirul Xk (t), converge uniform la funct¸ia X(t).
Inegalitatea:
t
t0
[F(τ, X k
(τ)) − F(τ, X(τ))]dτ
≤ K · h · max k
X (τ) − X(τ)
τ∈Ih
valabilǎ pentru orice t ∈ Ih ¸si k ∈ IN permite sǎ obt¸inem egalitatea:
lim
k→∞
t
t0
F(τ, X k (τ))dτ =
Trecem acum la limitǎ în egalitatea:
¸si obt¸inem:
X k+1 (t) = X 0 t
+
X(t) = X 0 +
t
t0
t0
t
t0
F(τ, X(τ))dτ.
F(τ, X k (τ))dτ
F(τ, X(τ))dτ.
Aceasta aratǎ cǎ funct¸ia X(t) este de clasǎ C1 ¸si verificǎ
⎧
⎨ ˙X(t) = F(t, X(t))
⎩
X(t0) = X 0
În concluzie, problema cu date init¸iale (4.4) are o solut¸ie definitǎ pe intervalul
Ih. Este posibil ca problema(4.4) sǎ aibe solut¸ie definitǎ pe un interval J
mai mare ca intervalul Ih. Acesta este motivul pentru care solut¸ia gǎsitǎ se
nume¸ste solut¸ie localǎ.
Teorema 4.2.2 (Cauchy-Lipschitz de unicitate a solut¸iei locale)
Dacǎ sunt indeplinite condit¸iile din teorema Cauchy-Lipschitz de existent¸ǎ a
unei solut¸ii locale pentru problema cu date init¸iale (t0, X 0 ), atunci problema
(4.4) nu poate avea douǎ solut¸ii diferite pe un interval J ⊂ Ih, t0 ∈ J.