Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

132 CAPITOLUL 4
Funct¸ia F = F(t, X) este uniform continuǎ pe cilindrul compact ∆ ¸si, de
aceea, pentru orice ε > 0, alegerea unui δ(ε) > 0 cu proprietatea ment¸ionatǎ
este posibilǎ.
Considerǎm acum un numǎr pozitiv h > 0 pe care-l vom numi pas ¸si pe
care îl alegem astfel încât sǎ satisfacǎ inegalitatea 0 < h < δ
. Fie q numǎrul
M
natural cu proprietatea:
tq = t0 + q · h ≤ t0 + α ¸si tq+1 = t0 + (q + 1) · h > t0 + α.
Pentru i = 1, q considerǎm numerele ti = t0 + ih ¸si t−i = t0 − ih. Aceste
numere definesc o diviziune a segmentului Iα.
t0 − α ≤ t−q < t−q+1 < · · · < t−1 < t0 < t1 < · · · < tq−1 < tq ≤ t0 + α.
Pe intervalul [t0, t1] definim funct¸ia X 1 = X 1 (t) cu formula
X 1 (t) = X 0 + (t − t0) · F(t0, X 0 )
iar pe intervalul [t−1, t0] funct¸ia X −1 = X −1 (t) datǎ de:
X −1 (t) = X 0 + (t − t0) · F(t0, X 0 ).
Aceste funct¸ii verificǎ urmǎtoarele inegalitǎt¸i:
X 1 (t) − X 0 ≤ b ¸si ˙ X 1 (t) − F(t, X 1 (t)) < ε, (∀) t ∈ [t0, t1]
X −1 (t) − X 0 ≤ b ¸si ˙ X −1 (t) − F(t, X −1 (t)) < ε, (∀) t ∈ [t 1, t0].
În continuare, pe intervalul [t1, t2] definim funct¸ia X 2 = X 2 (t) cu formula
X 2 (t) = X 1 (t1) + (t − t1) · F(t1, X 1 (t1)).
¸si pe intervalul [t−2, t−1] funct¸ia X −2 = X −2 (t) cu formula
X −2 (t) = X −1 (t−1) + (t − t1) · F(t−1, X −1 (t−1)).
Funct¸iile X 2 (t) ¸si X −2 (t) definite în acest fel verificǎ urmǎtoarele inegalitǎt¸i:
X 2 (t) − X 0 ≤ b ¸si ˙ X 2 (t) − F(t, X 2 (t)) < ε, (∀) t ∈ [t1, t2]
X −2 (t) − X 0 ≤ b ¸si ˙ X −2 (t) − F(t, X −2 (t)) < ε, (∀) t ∈ [t−2, t−1]