Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Metode numerice 135
ceea ce demonstreazǎ cǎ funct¸iile X ε (t) sunt echicontinue pe Iα.
Cu teorema lui Arzela-Ascoli rezultǎ cǎ existǎ un ¸sir εn → 0, astfel ca
¸sirul {X εn }εn sǎ fie uniform convergent pe intervalul Iα la o funct¸ie continuǎ
X pe intervalul Iα, ¸si aceasta satisface X(t) −X 0 ≤ b, pentru orice t ∈ Iα.
Continuitatea uniformǎ a funct¸iei F pe cilindrul ∆ ¸si convergent¸a uniformǎ
a ¸sirului de funct¸ii X εn la funct¸ia X asigurǎ convergent¸a uniformǎ a
¸sirului de funct¸ii F(τ, X εn (τ)) la funct¸ia F(τ, X(τ)) pe intervalul Iα.
Trecem la limitǎ în egalitatea:
X εn (t) = X 0 +
t
¸si obt¸inem cǎ funct¸ia X(t) verificǎ
X(t) = X 0 +
t0
t
t0
F(τ, X εn (τ))dτ +
t
t0
θ εn (τ)dτ
F(τ, X(τ))dτ, (∀) t ∈ Iα.
Aceasta demonstreazǎ cǎ limita X = X(t) este solut¸ia problemei cu date
init¸iale
˙X = F(t, X), X(t0) = X 0 .
Din teorema de unicitate rezultǎ cǎ funct¸ia X(t) coincide cu solut¸ia saturatǎ
X(t; t0, X0) pe intervalul Iα:
X(t) = X(t; t0, X 0 ), (∀) t ∈ Iα.
Se obt¸ine în acest fel cǎ funct¸ia X ε (t) aproximeazǎ solut¸ia
neprelungibilǎ X(t; t0, X 0 ) pe intervalul Iα.
Valorile funct¸iei X ε (t) în punctele ti se obt¸in cu formula de recurent¸ǎ:
X ε (ti) = X ε (ti−1) + h · F(ti−1, X ε (ti−1)), i = 1, q
iar în punctele t−i cu formula de recurent¸ǎ:
X ε (t−i) = X ε (t−i+1) − h · F(t−i+1, X ε (t−i+1)), i = 1, q
Aceste proceduri de trecere de la (ti−1, Xε i−1 ) la (ti, Xε i
(t−i+1, Xε −i+1 ) la (t−i, Xε −i ) sunt u¸sor de programat.
) ori de la