Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Proprietǎt¸i calitative ale solut¸iilor 111
din care rezultǎ inegalitǎt¸ile:
≤ K∗
xα ′′(t) = x∗ +
|xα ′(t) − xα ′′(t)| ≤
t
t∗
Astfel, obt¸inem cǎ:
t
t∗
t
|xα ′(s) − xα ′′(s)|ds < ε + K∗
t∗
f(s, xα ′′(s))ds,
|f(s, xα ′(s)) − f(s, xα ′′(s))|ds ≤
t
t∗
|xα ′(s) − xα ′′(s))| ds.
|xα ′(t) − xα ′′(t)| < εeK∗a∗ , (∀) t ∈ [t∗, t∗ + a∗].
iar din modul de alegere a lui ε rezultǎ inegalitatea:
|xα ′(t) − xα ′′(t)| < |xα ′(t1) − xα ′′(t1)|, (∀) t ∈ [t∗, t∗ + a∗]
care este o contradict¸ie.
Astfel, rezultǎ în final cǎ funct¸ia x = x(t) este corect definitǎ pe intervalul
I.
Urmeazǎ sǎ arǎtǎm cǎ funct¸ia x = x(t) este solut¸ie a problemei cu date
init¸iale (4.7).
Deoarece pentru orice α ∈ Λ avem xα(t0) = x0, rezultǎ:
x(t0) = x0.
Fie acum t1 ∈ I ¸si α1 ∈ Λ, astfel ca t1 ∈ Iα1. Pentru orice t ∈ Iα1, avem
x(t) = xα1(t) ¸si prin urmare
˙x(t) = ˙xα1(t) = f(t, xα1(t)) = f(t, x(t)), (∀)t ∈ Iα1.
În particular, pentru t = t1 avem
˙x(t1) = f(t, x(t1)).
Rezultǎ în acest fel cǎ funct¸ia x = x(t) este solut¸ie a problemei cu date
init¸iale (4.7).