Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul n cu coeficient¸i constant¸i 59
sau
Înlocuind toate acestea în ecuat¸ia datǎ rezultǎ:
˙C2 · e −2t · (3 cost + 4 sint) + ˙ C3 · e −2t · (3 sin t − 4 cost) +
+C2 · e −2t · (−2 cost − 11 sint) +C3 · e −2t · (−2 sin t + 11 cost) +
+C2 · e −2t · (12 cost + 16 sin t) +C3 · e −2t · (12 sin t − 16 cost) −
−C2 · e −2t · (10 cost + 5 sin t) +C3 · e −2t · (5 cost − 10 sint) = 4e t
˙C2 · e −2t · (3 cost + 4 sin t) + ˙ C3 · e −2t · (3 sin t − 4 cost) = 4e t
Aceastǎ egalitate împreunǎ cu sistemul de condit¸ii impus pe parcurs
funct¸iilor ˙ C1, ˙ C2, ˙ C3 conduce la urmǎtorul sistem liniar de ecuat¸ii algebrice
în necunoscutele ˙ C1, ˙ C2, ˙ C3:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
˙C1 + ˙ C2 · e −2t · cos t + ˙ C3 · e −2t · sin t = 0
− ˙ C2 · e −2t · (2 cost + sin t) + ˙ C3 · e −2t · (cos t − 2 sint) = 0
˙C2 · e −2t · (3 cost + 4 sin t) + ˙ C3 · e −2t · (−4 cost + 3 sin t) = 4e t
Din ultimele douǎ ecuat¸ii rezulǎ sistemul algebric:
⎧
⎨
⎩
˙C2 · (−2 cost − sin t) + ˙ C3 · (cost − 2 sint) = 0
˙C2 · (3 cost + 4 sin t) + ˙ C3 · (−4 cost + 3 sin t) = 4e −t
Determinantul sistemului este:
∆ = (−2 cost − sin t)(−4 cost + 3 sin t)
− (cos t − 2 sint)(3 cost + 4 sin t) =
= 8 cos 2 t − 6 sin t cost + 4 sintcost − 3 sin 2 t − 3 cos 2 t −
− 4 sin t cost + 6 sintcost + 8 sin 2 t = 8 − 3 = 5
¸si solut¸iile sunt date de:
˙C2 = − 4
5 · et (cos t − 2 sint)
˙ C3 = 4
5 · et (−2 cos t − sin t).