Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

236 CAPITOLUL 7
Sǎ presupunem acum prin absurd cǎ, operatorul G are doar un numǎr
finit de valori proprii diferite de zero: λ1, λ2, . . .,λm. T¸inând seama de faptul
cǎ G este autoadjunct ¸si compact rezultǎ de aici:
m
G(F) =
k=1
< G(F), uk > uk, (∀)F ∈ L 2 (Ω).
Aceastǎ egalitate aratǎ cǎ ¸sirul u1, u2, . . ., um este bazǎ în Im(G) deci Im(G)
este spat¸iu vectorial finit dimensional. Astfel, am ajuns la o contradict¸ie ¸si
deci G admite un ¸sir infinit de valori proprii. Încheiem demonstrat¸ia ob-
servând cǎ lim
m→∞ λm = +∞.
Teorema 7.1.10 S¸irul de funct¸ii proprii {um}m ai operatorului A este un
¸sir ortonormat complet în spat¸iul Hilbert L2
(Ω), iar ¸sirul de funct¸ii proprii
um
√λm este un ¸sir ortonormat complet în spat¸iul energetic XA.
m
Demonstrat¸ia acestei teoreme este laborioasǎ ¸si nu o facem aici.
Suntem acum în mǎsurǎ sǎ formulǎm urmǎtoarea teoremǎ referitoare la
solut¸ia generalizatǎ a ecuat¸iei Au = F, F ∈ L 2 (Ω).
Teorema 7.1.11 Oricare ar fi F ∈ L2 (Ω), solut¸ia generalizatǎ uF a ecuat¸iei
Au = F este datǎ de:
+∞ 1
uF = < F, um > L2 (Ω) ·um
λm
m=1
unde {um}m este ¸sirul de funct¸ii proprii ale operatorului A ( A− prelungirea
Friedrichs a opertorului A) ortonormal ¸si complet în spat¸iul Hilbert L 2 (Ω).
Demonstrat¸ie: Deoarece
+∞
+∞
uF = < uF, um > L2 ·um sau uF =
m=1
folosind egalitatea:
avem cǎ:
uF =
+∞
m=1
m=1
< uF, v >A=< F, v > L 2, (∀)v ∈ XA
< F, um
√λm
> L 2 · um
√λm
=
< uF, um
√λm
>A · um
√λm
+∞ 1
< F, um > L2 ·um.
λm
m=1