Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

256 CAPITOLUL 7
Definit¸ia 7.4.2 O funct¸ie u care verificǎ condit¸iile din definit¸ia precedentǎ
se nume¸ste solut¸ie clasicǎ a Problemei Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia hiperbolicǎ.
Propozit¸ia 7.4.1 Dacǎ existǎ un domeniu Ω ′ ⊂ IR n care include domeniul
Ω ¸si o funct¸ie G : [0, +∞) × Ω ′ → IR 1 de clasǎ C 2 pe [0, +∞) × Ω ′ astfel
încât
G(t, X) = g(t, X), (∀)(t, X) ∈ (0, +∞) × ∂Ω
atunci Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia hiperbolicǎ, prin schimbarea
de funct¸ie necunoscutǎ v(t, X) = u(t, X) − G(t, X), se reduce la Problema
Cauchy-Dirichlet pentru ecuat¸ia hiperbolicǎ cu condit¸ii nule pe frontierǎ:
∂2v −
∂t2 n
i=1
∂
∂xi
n
j=1
= f(t, X) − ∂2G +
∂t2 aij · ∂v
+ c(X) · v(t, X) =
∂xj
n
n
∂ ∂G
− c(X) · G(t, X),
∂xi ∂xj
i=1
j=1
(∀)(t, X) ∈ (0, +∞) × Ω
(7.32)
v(t, X) = 0, (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × Ω. (7.33)
u(0, X) = u0(X) − G(0, X) = v0(X), (∀)X ∈ Ω. (7.34)
∂v
∂t (0, X) = u1(X) − ∂G
∂t (0, X) = v1(X), (∀)X ∈ Ω. (7.35)
Demonstrat¸ie: Prin verificare.
Observat¸ia 7.4.1 Propozit¸ia reduce problema (7.28-7.31) cu condit¸ie nenulǎ
pe frontierǎ la problema (7.32-7.35), în care condit¸ia la frontierǎ (7.33) este
zero:
v(t, X) = 0, (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × ∂Ω.
De aceea, vom studia existent¸a ¸si unicitatea solut¸iei Problemei Cauchy-
Dirichlet pentru ecuat¸ia hiperbolicǎ cu condit¸ia la frontierǎ nulǎ.