Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Ecuat¸ia elipticǎ de tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 233
mult¸ime mǎrginitǎ în XA este compactǎ în L 2 (Ω) deducem cǎ operatorul G
este compact.
v) Arǎtǎm acum cǎ operatorul G −1 : Im G ⊂ XA → L 2 (Ω) este o prelungire
a operatorului A.
Din cele de pânǎ acum ¸stim cǎ G −1 : Im G ⊂ XA → L 2 (Ω) este un operator
injectiv.
Considerǎm u ∈ D ¸si apoi Au ∈ L 2 (Ω). Funct¸ia GAu apart¸ine la Im G ¸si
avem :
< GAu, v >A=< Au, v > L 2 (Ω)=< u, v >A (∀)v ∈ XA.
Rezultǎ de aici egalitatea :
GAu = u, (∀) u ∈ D,
care demonstreazǎ apartenent¸a u ∈ ImG ¸si egalitatea G −1 u = Au. Am
arǎtat în acest fel cǎ operatorul G −1 : Im G ⊂ XA → L 2 (Ω) este o prelungire
a operatorului A.
Definit¸ia 7.1.5 Operatorul G −1 se nume¸ste prelungirea Friedrichs a operatorului
A ¸si se noteazǎ cu Ã.
Teorema 7.1.8 (caracterizarea minimului absolut al funct¸ionalei Φ) Funct¸ia
uF ∈ XAeste minimul absolut al funct¸ionalei
˜ΦF : XA → IR 1 , ˜ ΦF(u) =< u, u >A −2 < F, u > L 2 (Ω)
dacǎ ¸si numai dacǎ uF este solut¸ia ecuat¸iei Ãu = F, unde à este prelungirea
Friedrichs a operatorului A.
Demonstrat¸ie: Rezultatul se obt¸ine imediat din construct¸ia prelungirii
Friedrichs a operatorului A.
Observat¸ia 7.1.10 Din cele prezentate rezultǎ cǎ pentru orice
F ∈ L2 (Ω) ecuat¸ia Ãu = F are o singurǎ solut¸ie în spat¸iul Hilbert XA.
Definit¸ia 7.1.6 Solut¸ia uF a ecuat¸iei Ãu = F se nume¸ste solut¸ia generalizatǎ
a ecuat¸iei Au = F.