Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Ecuat¸ia elipticǎ de tip divergent¸ǎ ¸si Problema Dirichlet 229
Dacǎ u ∈D ¸si u ∈ XA atunci se define¸ste ΦF(u) cu
n n
ΦF(u) = aij(X) ∂u
∂u
dX − 2
∂xi ∂xj
Ω i=1 j=1
Ω
F · udX
iar pentru un ∈ D, un − uA → 0 se reface acela¸si rat¸ionament.
Teorema 7.1.6 (de existent¸ǎ ¸si unicitate a punctului de minim
absolut)
Pentru orice F ∈ L 2 (Ω) prelungita ΦF prin continuitate a funct¸ionalei
ΦF la spat¸iul energetic XA are un singur punct de minim.
Demonstrat¸ie: Pentru a demonstra existent¸a punctului de minim considerǎm
funct¸ionala liniarǎ ¸si continuǎ
u ↦−→ F · udX
Ω
definitǎ pe spat¸iul energetic XA. Conform cu teoremei lui F. Riesz existǎ o
funct¸ie uF ∈ XA astfel încât sǎ avem:
< uF, u >A= F · udX
pentru orice u ∈ XA. Rǎmâne de arǎtat cǎ uF este punctul de minim absolut
al funct¸ionalei ΦF(u). În acest scop calculǎm ΦF(uF) ¸si ΦF(u) pentru u ∈ XA.
Avem:
ΦF(uF) = < uF, uF >A −2 < F, uF > L 2 (Ω)= uF 2 A − 2uF 2 A =−uF 2 A
ΦF(u) = < u, u >A −2 < F, u >L 2 (Ω)
Ω
= < u−uF, u−uF >A+2< uF, u >A−< uF, uF >A−2< F, u > L 2 (Ω)
= u − uF 2 A − uF 2 A = u − uF 2 A + ΦF(uF)
Aceastǎ din urmǎ egalitate
ΦF(u) = u − uF 2 A + ΦF(uF)
este adevǎratǎ pentru orice u ∈ XA ¸si aratǎ cǎ
Egalitatea aratǎ ¸si faptul cǎ
ΦF(u) ≥ ΦF(uF).
ΦF(u) > ΦF(uF)
pentru orice u = uF ceea ce demonstreazǎ unicitatea.