Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Formulele lui Green ¸si formule de reprezentare în dimensiunea n ≥ 3 199
Comentariu Formula (6.18) permite construct¸ia funct¸iei u din valorile
Laplacianului ∆u al funct¸iei în Ω, valorile derivatei normale ∂u
a lui u pe
∂¯n
∂Ω ¸si valorile lui u pe ∂Ω.
Vom arǎta ce devine aceastǎ formulǎ de reprezentare în cazul funct¸iilor
armonice.
Definit¸ia 6.3.1 Zicem cǎ funct¸ia u : Ω ⊂ IR n → IR 1 este armonicǎ în Ω
dacǎ funct¸ia este de clasǎ C 2 în Ω ¸si dacǎ
∆u =
n
i=1
∂ 2 u
∂x 2 i
= 0, (∀)(x1, . . .,xn) ∈ Ω.
Observat¸ia 6.3.1 În condit¸iile din Teorema 6.3.5 (de reprezentare), dacǎ
funct¸ia u este armonicǎ în Ω, atunci avem:
u(X) =
−
1
1
(n − 2)σn ∂Ω X − Y n−2 ∂u
(Y ) dSY −
∂¯nY
u(Y ) ∂
1
∂¯nY X − Y n−2
dSY .
∂Ω
Teorema 6.3.6 (de reprezentare a funct¸iilor armonice)
Dacǎ Ω ⊂ IR n este un domeniu ¸si u : ¯ Ω → IR 1 este o funct¸ie armonicǎ în Ω
(∆u = 0), atunci pentru orice x ∈ Ω ¸si orice r > 0 astfel încât bila închisǎ
¯B(0, r) = {Y ∈ IR n | Y ≤ r} este inclusǎ în Ω are loc egalitatea:
u(X) =
1
σn r n−2
∂ ¯ B(X,r)
u(Y ) dSY
Demonstrat¸ie: Demonstrat¸ia este analoagǎ cu cea din cazul n = 2.
(6.19)
Observat¸ia 6.3.2 Dacǎ Ω ⊂ IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω
netedǎ (part¸ial netedǎ) ¸si u : ¯ Ω → IR 1 este o funct¸ie de clasǎ C 1 pe ¯ Ω ¸si este
armonicǎ în Ω (∆u = 0 în Ω), atunci:
∂Ω
∂u
dS = 0.
∂¯n