Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

82 CAPITOLUL 3
Rezultatul este imediat în baza propozit¸iilor (3.1.1, 3.1.2, 3.1.3).
Teorema 3.1.7 Solut¸iile sistemului (3.2) sunt funct¸ii de forma:
e λkt Pqk−1(t) +
l
e µkt
[Qrk−1(t) cosνkt + Rrk−1(t) sin νkt] , i, j = 1, n
k=1
unde λ1, . . .,λp sunt valorile proprii reale ale lui A cu ordin de multiplicitate
respectiv q1, . . .,qp; µk + iνk, k = 1, l sunt valorile proprii complexe ale lui A
cu ordin de multiplicitate rk; Pqk−1, Qrk−1 ¸si Rrk−1 sunt vectori coloanǎ ai
cǎror elemente sunt polinoame de grad qk − 1 respectiv rk − 1.
Exercit¸ii
1. Rezolvat¸i urmǎtoarele sisteme:
a)
x1 ˙ = −x1+8x2
x2 ˙ = x1+ x2
R:
b)
c)
d)
e)
f)
x1 ˙ = −3x1+ 2x2
x2 ˙ = −2x1+ x2
x1 ˙ =2x1− x2
x2 ˙ = x1+ 2x2
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
x1 ˙ = 3x1+12x2− 4x3
x2 ˙ = −x1− 3x2+ x3
x3 ˙ = −x1− 12x2+6x3
x1 ˙ = x1+x2− 2x3
x2 ˙ =4x1+ x2
x3 ˙ =2x1+x2− x3
x1 ˙ = 2x1− x2− x3
x2 ˙ = 3x1− 2x2− 3x3
x3 ˙ = −x1+ x2+ 2x3
x1(t) = c1 · e 3t + c2 · e −3t
x2(t) = 1
2 ·c1 · e 3t − 1
4 ·c2 · e −3t
x1(t) = c1 · e
R:
−t + c2 · t · e−t x2(t) = c1 · e−t + 2t+1
2 · c2 · e−t
x1(t) = c1 · cost · e
R:
2t + c2 · sin t · e2t x2(t) = c1 · sin t · e2t −c2 · cost · e2t ⎧
⎨
R: x2(t) = −
⎩
3
x1(t) = c1 · e 2t + c2 · e t + c3 · e 3t
8 c1 · e2t −1 2 c2 · et −1 3 c3 · e3t x3(t) = − 7
8 c1 · e2t − c2 · et − c3 · e3t ⎧
⎨ x1(t) = −
R:
⎩
1
⎧
⎨
R:
⎩
2 c1 · e−t + + 1
4 c3 · et x2(t) = c1 · e−t + c2 · et + c3 · t · et x3(t) = + 1
2 c2 · et + 1
2 c3 · t · et x1(t) = c2 + c3 · e t
x2(t) = c1 · e t +3 c2
x3(t) = −c1 · e t − c2 + c3 · e t