Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

170 CAPITOLUL 5
5.2 Ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul întâi
cvasiliniare
Definit¸ia 5.2.1 O ecuat¸ie cu derivate part¸iale de ordinul întâi cvasiliniarǎ
este o relat¸ie de dependent¸ǎ funct¸ionalǎ de forma:
n ∂u
· fi(x1, . . .,xn, u) − g(x1, . . .,xn, u) = 0 (5.3)
∂xi
i=1
dintre funct¸ia necunoscutǎ u = u(x1, . . .,xn) ¸si derivatele part¸iale
∂u
,i = 1, n ale acesteia.
∂xi
Funct¸iile f1, . . ., fn ¸si g în ecuat¸ia (5.3) se considerǎ date:
fi, g : Ω ⊂ IR n+1 −→ R 1
¸si sunt presupuse de clasǎ C1 .
Ecuat¸ia (5.3) se nume¸ste cvasiliniarǎ pentru cǎ este liniarǎ în derivatele
part¸iale ∂u
, dar nu este liniarǎ în general în u.
∂xk
Definit¸ia 5.2.2 O solut¸ie a ecuat¸iei (5.3) este o funct¸ie:
u : D ⊂ R n −→ R 1
de clasǎ C 1 care are proprietatea cǎ pentru orice (x1, . . ., xn) ∈ D punctul
(x1, . . ., xn, u(x1, . . .,xn)) ∈ Ω ¸si
în D.
n ∂u
(x1, . . .,xn) · fi(x1, . . .,xn, u(x1, . . .,xn))−
∂xi
i=1
g(x1, . . ., xn, u(x1, . . .,xn)) ≡ 0
Pentru determinarea solut¸iilor ecuat¸iei (5.3) considerǎm ecuat¸ia cu derivate
part¸iale de ordinul întâi liniarǎ:
n
i=1
∂v
∂xi
cu (x1, . . ., xn, u) ∈ Ω
· fi(x1, . . .,xn, u) + ∂v
∂u · g(x1, . . .,xn, u) = 0 (5.4)