Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

234 CAPITOLUL 7
Observat¸ia 7.1.11 Dacǎ uF ∈ D ⊂ XA atunci uF este solut¸ie clasicǎ a
Problemei Dirichlet. Dacǎ uF ∈ XA nu apart¸ine la D (uF ∈D) atunci ea
verificǎ doar:
n
n
Ω i=1 j=1
aij(x) · ∂uF
∂xj
pentru orice v ∈ XA.
· ∂v
dx + c(x) · uF(x) · v(x)dx = F(x) · v(x)dx
∂xi Ω
Ω
În continuare vom descrie o metodǎ de determinare a solut¸iei generalizate
uF a ecuat¸iei Au = F (despre care ¸stim cǎ existǎ ¸si este unicǎ). Metoda se
bazeazǎ pe determinarea valorilor proprii ¸si vectorilor proprii ai prelungirii
Friedrichs Ã.
Definit¸ia 7.1.7 Un numǎr λ este valoare proprie pentru operatorul à dacǎ
existǎ o funct¸ie u în D( Ã) (domeniul de definit¸ie al operatorului Ã), u = 0,
astfel încât sǎ avem:
Ãu = λ · u.
Teorema 7.1.9 Pentru operatorul à existǎ un ¸sir infinit de valori proprii
0 < λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ ... ≤ λm ≤ ...
¸si corespunzǎtor acestor valori proprii un ¸sir infinit de funct¸ii proprii
cu urmǎtoarele proprietǎt¸i:
u1, u2, u3, ..., un, ...
lim
n→∞ λn = +∞
< ui, uj > L 2 (Ω) = δij.
Demonstrat¸ie: Operatorul G : L 2 (Ω) → L 2 (Ω) este liniar autoadjunct ¸si
complet continuu. Pe baza unei teoreme relative la aceastǎ clasǎ de operatori
liniari rezultǎ cǎ, G admite un ¸sir infinit de valori proprii ¸si un ¸sir infinit de
funct¸ii proprii. Valorile proprii ale lui G le notǎm cu
1
λ1
, 1
, ...,
λ2
1
, ...
λm