Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Capitolul 6
Ecuat¸ii cu derivate part¸iale de
ordinul al doilea liniare
6.1 Clasificarea ecuat¸iilor cu derivate part¸iale
de ordinul al doilea liniare (clasificarea
problemelor de fizicǎ - matematicǎ)
Definit¸ia 6.1.1 O ecuat¸ie cu derivate part¸iale de ordinul al doilea liniarǎ
este o relat¸ie de dependent¸ǎ funct¸ionalǎ de forma:
n n
aij · ∂2 n u
+ bi ·
∂xi∂xj
∂u
+ c · u + f = 0 (6.1)
∂xi
i=1
j=1
i=1
dintre funct¸ia necunoscutǎ u = u(x1, . . .,xn), derivatele part¸iale de ordinul
întâi ¸si de ordinul al doilea ale acesteia.
Funct¸iile aij, bi, c, f : Ω ⊂ IR n → IR 1 din ecuat¸ia (6.1) se considerǎ cunoscute
¸si sunt presupuse cel put¸in continue pe Ω.
Definit¸ia 6.1.2 O solut¸ie clasicǎ a ecuat¸iei (6.1) este o funct¸ie
u : D ⊂ Ω → IR 1 de clasǎ C 2 care are proprietatea cǎ pentru orice (x1, . . .,xn) ∈
D avem:
n
i=1
+
n
aij(x1, . . ., xn) · ∂2u (x1, . . ., xn)+
∂xi∂xj
j=1
n
bi(x1, . . .,xn) · ∂u
(x1, . . .,xn)+
∂xi
i=1
178