Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

190 CAPITOLUL 6
Y -fixat funct¸ia E(X − Y ) = − 1
2π ln
1
X − Y
definitǎ pentru orice X ∈
IR 2 , X = Y este de clasǎ C 2 ¸si verificǎ ∆XE(X − Y ) = 0.
Considerǎm X ∈ Ω, X-fixat ¸si ε > 0 astfel ca, pentru orice Y cu X−Y ≤ ε,
sǎ avem Y ∈ Ω. Notǎm cu B(X, ε) discul centrat în X de razǎ ε:
B(X, ε) = {Y : X − Y ≤ ε}
¸si domeniul Ωε = Ω − B(X, ε). Considerǎm funct¸iile
Y ↦−→ u(Y ) ¸si Y ↦−→ − 1
2π ln
1
X − Y
= E(X − Y ).
Pe domeniul Ωε, ambele funct¸ii sunt de clasǎ C 2 , iar pe Ωε sunt de clasǎ C 1 .
Scriem cea de-a doua formulǎ a lui Green pentru aceste funct¸ii ¸si obt¸inem:
− 1
1
ln
2π Ωε X − Y · (∆u)(Y )dy1dy2 =
= − 1
1 ∂u
ln · (Y )dsY +
2π ∂Ωε X − Y ∂nY
1
u(Y ) ·
2π ∂Ωε
∂
∂nY
1
ln
· dsY .
X − Y
Frontiera ∂Ωε a mult¸imii Ωε are douǎ pǎrt¸i: ∂Ωε = ∂Ω ∪ Sε unde Sε =
{Y : Y −X = ε}, astfel cǎ integralele din membru drept al acestei egalitǎt¸i
se pot scrie dupǎ cum urmeazǎ:
− 1
2π
= − 1
2π
= − 1
2π
∂Ωε
∂Ω
∂Ω
1 ∂u
ln · (Y )dsY =
X − Y ∂nY
1 ∂u
ln · dsY −
X − Y ∂nY
1
1 ∂u
ln · dsY =
2π Sε X − Y ∂nY
1 ∂u
ln · (Y )dsY +
X − Y ∂nY
1 ∂n
lnε · 2πε · (Y
2π ∂nY
∗ ).