Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul întâi liniare omogene 75
Observat¸ia 3.1.3 Funct¸ia matricealǎ e (t−t0)·A se nume¸ste matricea rezolvantǎ
a sistemului (3.2). O solut¸ie a problemei Cauchy (3.3) se obt¸ine înmult¸ind
matricea e (t−t0)·A cu matricea X 0 :
Aceastǎ solut¸ie este definitǎ pe IR 1 .
X(t; t0, X 0 ) = e (t−t0)·A · X 0 .
Teorema 3.1.2 (de unicitate a solut¸iei problemei Cauchy)
Problema Cauchy (3.3) are o singurǎ solut¸ie.
Demonstrat¸ie: Presupunem prin absurd cǎ problema Cauchy (3.3), pe
lângǎ solut¸ia X(t; t0, X 0 ) determinatǎ în teorema precedentǎ mai are o solut¸ie
X(t). Pe intervalul I de definit¸ie a acestei solut¸ii
(I ∋ t0) scriem egalitǎt¸ile :
¸si
¸si deducem succesiv:
X(t; t0, X 0 ) = X 0 t
+ A ·
X(t) = X 0 + A ·
X(t; t0, X 0 ) − X(t) = A ·
t0
t
t0
t
X(t; t0, X0 ) −
X(t) ≤ A ·
t0
X(τ; t0, X 0 )dτ, (∀)t ∈ I
X(τ)dτ, (∀)t ∈ I
[X(τ; t0, X 0 ) − X(τ)]dτ
t
t0
< ε + A ·
Pentru t > t0 rezultǎ în continuare:
ε +
t
t0
X(τ; t0, X 0 ) −
X(τ)dτ
<
t
t0
(∀)ε > 0 (∀)t ∈ I.
X(τ; t0, X 0 ) −
X(τ)dτ
X(t; t0, X0 ) − X(t)
A · X(τ; t0, X 0 ) − ≤ 1 ⇔
X(τ)dτ