Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin ...

50 CAPITOLUL 2
în care necunoscutele sunt ˙ C1(t), ˙ C2(t) (derivatele funct¸iilor C1(t) ¸si C2(t)),
are determinantul (λ2 − λ1)e (λ1+λ2)t = 0 ¸si permite determinarea funct¸iilor
˙C1(t) ¸si ˙ C2(t):
˙C1(t) = −
˙C2(t) =
1
a2(λ2 − λ1) · e−(λ1+λ2)t · e λ2t · f(t)
1
a2(λ2 − λ1) · e−(λ1+λ2)t · e λ1t · f(t)
Rezultǎ de aici cǎ funct¸iile C1(t) ¸si C2(t) sunt date de:
1
C1(t) = −
a2(λ2 − λ1)
C2(t) =
1
a2(λ2 − λ1)
t
t ∗
t
t ∗
e −λ1τ · f(τ)dτ
e −λ2τ · f(τ)dτ
iar solut¸ia particularǎ a ecuat¸iei neomogene (2.3) este:
adicǎ:
1
x(t) = −
a2(λ2 − λ1)
+
1
a2(λ2 − λ1)
· eλ1t
· eλ2t
t
t
t ∗
t ∗
e −λ1τ · f(τ)dτ+
e −λ2τ · f(τ)dτ.
Rezultǎ cǎ o solut¸ie oarecare a ecuat¸iei (2.3) este datǎ de
x(t) = C1e λ1t + C2e λ2t −
+
1
a2(λ2 − λ1)
x(t) = x(t) + x(t)
· eλ2t
1
a2(λ2 − λ1)
t
t ∗
· eλ1t
t
t ∗
e −λ1τ · f(τ)dτ +
(2.17)
(2.18)
(2.19)
e −λ2τ · f(τ)dτ (2.20)
Fǎcând un rat¸ionament asemǎnǎtor în cazul în care ecuat¸ia algebricǎ
(2.5) are rǎdǎcini reale egale λ1 = λ2 = λ, pentru ecuat¸ia (2.3) gǎsim solut¸ia
particularǎ:
x(t) = e λt
− 1
a2
t
t ∗
e −λτ · τ · f(τ)dτ + t
a2
t
t ∗
e −λτ
· f(τ)dτ